Задача: В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём жидкости равен 30 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
Решение:
1. Обозначим высоту всего конуса как \(H\), а радиус его основания как \(R\). Объем всего конуса \(V_{конуса}\) вычисляется по формуле:
\[V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi R^2 H\]2. Жидкость в сосуде также образует конус. Обозначим высоту этого конуса как \(h\), а радиус его основания как \(r\).
По условию задачи, уровень жидкости достигает 1/2 высоты всего конуса, то есть:
\[h = \frac{1}{2} H\]3. Конус, образованный жидкостью, подобен большому конусу (сосуду). Из подобия треугольников (если рассмотреть осевое сечение конусов) следует, что отношение радиусов равно отношению высот:
\[\frac{r}{R} = \frac{h}{H}\]Подставим значение \(h\):
\[\frac{r}{R} = \frac{\frac{1}{2} H}{H} = \frac{1}{2}\]Отсюда получаем:
\[r = \frac{1}{2} R\]4. Теперь запишем формулу для объема жидкости \(V_{жидкости}\):
\[V_{жидкости} = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]5. Подставим в эту формулу выражения для \(r\) и \(h\) через \(R\) и \(H\):
\[V_{жидкости} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{1}{2} R\right)^2 \left(\frac{1}{2} H\right)\] \[V_{жидкости} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{1}{4} R^2\right) \left(\frac{1}{2} H\right)\] \[V_{жидкости} = \frac{1}{3} \pi R^2 H \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}\] \[V_{жидкости} = \frac{1}{3} \pi R^2 H \cdot \frac{1}{8}\]6. Мы видим, что выражение \(\frac{1}{3} \pi R^2 H\) — это объем всего конуса \(V_{конуса}\). Значит:
\[V_{жидкости} = V_{конуса} \cdot \frac{1}{8}\]7. По условию задачи, объем жидкости равен 30 мл. Подставим это значение:
\[30 \text{ мл} = V_{конуса} \cdot \frac{1}{8}\]8. Чтобы найти объем всего сосуда \(V_{конуса}\), умножим обе части уравнения на 8:
\[V_{конуса} = 30 \text{ мл} \cdot 8\] \[V_{конуса} = 240 \text{ мл}\]Ответ: 240 мл.