Решите систему уравнений
\[ \begin{cases} x^2 - 2xy + y^2 = 9 \\ 4x^2 + xy + 4y^2 = 18 \end{cases} \]В ответе укажите сумму всех найденных значений \(x\) и \(y\) (то есть \(x_1 + y_1 + x_2 + y_2 + \dots\)).
Решение:
Рассмотрим первое уравнение системы:
\[ x^2 - 2xy + y^2 = 9 \]Заметим, что левая часть является формулой квадрата разности:
\[ (x - y)^2 = 9 \]Из этого следует, что:
\[ x - y = 3 \quad \text{или} \quad x - y = -3 \]Таким образом, система распадается на две более простые системы.
Случай 1: \(x - y = 3\)
Выразим \(x\) через \(y\):
\[ x = y + 3 \]Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы:
\[ 4(y + 3)^2 + (y + 3)y + 4y^2 = 18 \]Раскроем скобки:
\[ 4(y^2 + 6y + 9) + y^2 + 3y + 4y^2 = 18 \] \[ 4y^2 + 24y + 36 + y^2 + 3y + 4y^2 = 18 \]Приведем подобные члены:
\[ (4y^2 + y^2 + 4y^2) + (24y + 3y) + 36 = 18 \] \[ 9y^2 + 27y + 36 = 18 \]Перенесем 18 в левую часть:
\[ 9y^2 + 27y + 36 - 18 = 0 \] \[ 9y^2 + 27y + 18 = 0 \]Разделим все члены уравнения на 9:
\[ y^2 + 3y + 2 = 0 \]Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.
По теореме Виета: \(y_1 + y_2 = -3\), \(y_1 \cdot y_2 = 2\).
Корни: \(y_1 = -1\), \(y_2 = -2\).
Найдем соответствующие значения \(x\):
Если \(y_1 = -1\), то \(x_1 = y_1 + 3 = -1 + 3 = 2\).
Первое решение: \((x_1, y_1) = (2, -1)\).
Если \(y_2 = -2\), то \(x_2 = y_2 + 3 = -2 + 3 = 1\).
Второе решение: \((x_2, y_2) = (1, -2)\).
Случай 2: \(x - y = -3\)
Выразим \(x\) через \(y\):
\[ x = y - 3 \]Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы:
\[ 4(y - 3)^2 + (y - 3)y + 4y^2 = 18 \]Раскроем скобки:
\[ 4(y^2 - 6y + 9) + y^2 - 3y + 4y^2 = 18 \] \[ 4y^2 - 24y + 36 + y^2 - 3y + 4y^2 = 18 \]Приведем подобные члены:
\[ (4y^2 + y^2 + 4y^2) + (-24y - 3y) + 36 = 18 \] \[ 9y^2 - 27y + 36 = 18 \]Перенесем 18 в левую часть:
\[ 9y^2 - 27y + 36 - 18 = 0 \] \[ 9y^2 - 27y + 18 = 0 \]Разделим все члены уравнения на 9:
\[ y^2 - 3y + 2 = 0 \]Решим это квадратное уравнение.
По теореме Виета: \(y_3 + y_4 = 3\), \(y_3 \cdot y_4 = 2\).
Корни: \(y_3 = 1\), \(y_4 = 2\).
Найдем соответствующие значения \(x\):
Если \(y_3 = 1\), то \(x_3 = y_3 - 3 = 1 - 3 = -2\).
Третье решение: \((x_3, y_3) = (-2, 1)\).
Если \(y_4 = 2\), то \(x_4 = y_4 - 3 = 2 - 3 = -1\).
Четвертое решение: \((x_4, y_4) = (-1, 2)\).
Сумма всех найденных значений \(x\) и \(y\):
Найденные решения:
\((x_1, y_1) = (2, -1)\)
\((x_2, y_2) = (1, -2)\)
\((x_3, y_3) = (-2, 1)\)
\((x_4, y_4) = (-1, 2)\)
Сумма всех \(x\) и \(y\):
\[ S = (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) + (x_3 + y_3) + (x_4 + y_4) \] \[ S = (2 + (-1)) + (1 + (-2)) + (-2 + 1) + (-1 + 2) \] \[ S = (2 - 1) + (1 - 2) + (-2 + 1) + (-1 + 2) \] \[ S = 1 + (-1) + (-1) + 1 \] \[ S = 1 - 1 - 1 + 1 \] \[ S = 0 \]Ответ:
Сумма всех найденных значений \(x\) и \(y\) равна 0.