Задача:
Объем новогоднего елочного шара в 27 раз меньше объема зеркального шара в дискоклубе. Во сколько раз площадь поверхности зеркального дискошара больше площади поверхности новогоднего елочного?
Решение:
1. Обозначим объемы шаров:
- Объем новогоднего елочного шара: \(V_1\)
- Объем зеркального дискошара: \(V_2\)
2. По условию задачи, объем новогоднего елочного шара в 27 раз меньше объема зеркального шара. Это можно записать как:
\[V_2 = 27 \cdot V_1\]3. Формула для объема шара с радиусом \(R\) выглядит так:
\[V = \frac{4}{3} \pi R^3\]4. Пусть радиус новогоднего елочного шара будет \(R_1\), а радиус зеркального дискошара — \(R_2\). Тогда:
\[V_1 = \frac{4}{3} \pi R_1^3\] \[V_2 = \frac{4}{3} \pi R_2^3\]5. Подставим эти выражения в соотношение объемов:
\[\frac{4}{3} \pi R_2^3 = 27 \cdot \frac{4}{3} \pi R_1^3\]6. Сократим \(\frac{4}{3} \pi\) с обеих сторон уравнения:
\[R_2^3 = 27 \cdot R_1^3\]7. Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения, чтобы найти соотношение радиусов:
\[\sqrt[3]{R_2^3} = \sqrt[3]{27 \cdot R_1^3}\] \[R_2 = 3 \cdot R_1\]Это означает, что радиус зеркального дискошара в 3 раза больше радиуса новогоднего елочного шара.
8. Теперь найдем площади поверхностей шаров. Формула для площади поверхности шара с радиусом \(R\) выглядит так:
\[S = 4 \pi R^2\]9. Площадь поверхности новогоднего елочного шара:
\[S_1 = 4 \pi R_1^2\]10. Площадь поверхности зеркального дискошара:
\[S_2 = 4 \pi R_2^2\]11. Подставим \(R_2 = 3 \cdot R_1\) в формулу для \(S_2\):
\[S_2 = 4 \pi (3 R_1)^2\] \[S_2 = 4 \pi (9 R_1^2)\] \[S_2 = 9 \cdot (4 \pi R_1^2)\]12. Мы видим, что выражение в скобках — это \(S_1\). Значит:
\[S_2 = 9 \cdot S_1\]Ответ:
Площадь поверхности зеркального дискошара в 9 раз больше площади поверхности новогоднего елочного шара.