Дана функция \(f(x) = -x^2 + 2x + 8\).
1) Построить график функции \(y = f(x)\).
Это парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный, \(a = -1\)).
Найдем координаты вершины параболы \((x_в, y_в)\):
\[ x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1 \] \[ y_в = f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9 \]Вершина параболы находится в точке \((1, 9)\).
Найдем точки пересечения с осью \(Ox\) (корни уравнения \(f(x) = 0\)):
\[ -x^2 + 2x + 8 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]Используем теорему Виета или формулу корней квадратного уравнения:
По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -8\).
Корни: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 4\).
Точки пересечения с осью \(Ox\): \((-2, 0)\) и \((4, 0)\).
Найдем точку пересечения с осью \(Oy\) (при \(x = 0\)):
\[ f(0) = -(0)^2 + 2(0) + 8 = 8 \]Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0, 8)\).
График функции \(y = f(x)\) — это парабола с вершиной в \((1, 9)\), пересекающая ось \(Ox\) в точках \((-2, 0)\) и \((4, 0)\), и ось \(Oy\) в точке \((0, 8)\). Ветви параболы направлены вниз.
2) Укажите интервалы знакопостоянства функции \(y = f(x)\).
Функция \(f(x)\) — это парабола, ветви которой направлены вниз, и она пересекает ось \(Ox\) в точках \(x = -2\) и \(x = 4\).
- При \(x < -2\), \(f(x) < 0\) (график ниже оси \(Ox\)).
- При \(-2 < x < 4\), \(f(x) > 0\) (график выше оси \(Ox\)).
- При \(x > 4\), \(f(x) < 0\) (график ниже оси \(Ox\)).
Интервалы, где \(f(x) > 0\): \((-2; 4)\).
Интервалы, где \(f(x) < 0\): \((-\infty; -2) \cup (4; +\infty)\).
Выберите интервалы знакопостоянства.
Предложенные варианты:
- \((-\infty; -2) \cup (4; +\infty)\)
- \((-\infty; 0) \cup (1; +\infty)\)
- \((-2; 4)\)
- \((-\infty; +\infty)\)
Если вопрос подразумевает интервалы, где функция положительна, то это \((-2; 4)\).
Если вопрос подразумевает интервалы, где функция отрицательна, то это \((-\infty; -2) \cup (4; +\infty)\).
Обычно под "интервалами знакопостоянства" подразумевают как положительные, так и отрицательные интервалы. Но если нужно выбрать один из предложенных, то чаще всего спрашивают про интервал, где функция положительна.
Давайте выберем интервал, где функция положительна, так как он является одним из предложенных и четко выделяет область, где функция имеет один знак.
Ответ на пункт 2: \((-2; 4)\).
3) Укажите промежутки монотонности функции \(y = f(x)\).
Вершина параболы находится в точке \(x_в = 1\). Ветви параболы направлены вниз.
- При \(x < 1\), функция возрастает.
- При \(x > 1\), функция убывает.
Промежуток возрастания: \((-\infty; 1]\).
Промежуток убывания: \([1; +\infty)\).
Выберите промежутки монотонности функции.
Предложенные варианты:
- \((-\infty; 1]\)
- \((-\infty; 0] \cup [1; +\infty)\)
- \([1; +\infty)\)
- \((-\infty; +\infty)\)
Если нужно выбрать один промежуток, то это либо возрастание, либо убывание. Если вопрос подразумевает оба, то обычно указывают оба. В данном случае, скорее всего, нужно выбрать один из них.
Давайте выберем промежуток возрастания, так как он первый в списке и является одним из двух основных промежутков монотонности.
Ответ на пункт 3: \((-\infty; 1]\).
4) Найдите множество значений функции \(y = f(x)\) на промежутке \([2; +\infty)\).
На промежутке \([2; +\infty)\) функция \(f(x)\) убывает, так как \(x_в = 1\) и \(1 < 2\).
Найдем значение функции в начале промежутка \(x = 2\):
\[ f(2) = -(2)^2 + 2(2) + 8 = -4 + 4 + 8 = 8 \]Поскольку функция убывает на этом промежутке, и ветви параболы направлены вниз, при \(x \to +\infty\), \(f(x) \to -\infty\).
Таким образом, множество значений функции на промежутке \([2; +\infty)\) будет от \(-\infty\) до \(f(2)\) включительно.
Множество значений: \((-\infty; 8]\).
Выберите множество значений функции \(y = f(x)\) на промежутке \([2; +\infty)\).
Предложенные варианты:
- \((-\infty; 8]\)
- \((-\infty; +\infty)\)
- \([2; +\infty)\)
- \((-\infty; 0)\)
- \((-\infty; 9]\)
Ответ на пункт 4: \((-\infty; 8]\).
5) Постройте графики функций:
а) \(y = |f(x)|\);
График \(y = |f(x)|\) получается из графика \(y = f(x)\) следующим образом: все части графика \(y = f(x)\), которые находятся ниже оси \(Ox\) (то есть имеют отрицательные значения \(y\)), отражаются симметрично относительно оси \(Ox\) вверх. Части графика, которые находятся выше оси \(Ox\) или на ней, остаются без изменений.
Для \(f(x) = -x^2 + 2x + 8\):
- На интервале \((-2; 4)\) \(f(x) > 0\), поэтому \(|f(x)| = f(x)\).
- На интервалах \((-\infty; -2)\) и \((4; +\infty)\) \(f(x) < 0\), поэтому \(|f(x)| = -f(x)\).
Вершина параболы \(f(x)\) в \((1, 9)\). Значит, максимальное значение \(|f(x)|\) будет 9.
График будет выглядеть как парабола, ветви которой направлены вниз, но "отрицательные" части отражены вверх, образуя "холмы" над осью \(Ox\).
б) \(y = f(|x|)\).
График \(y = f(|x|)\) получается из графика \(y = f(x)\) следующим образом: часть графика \(y = f(x)\) для \(x \ge 0\) остается без изменений. Часть графика для \(x < 0\) удаляется, а вместо нее строится симметричное отражение части графика для \(x \ge 0\) относительно оси \(Oy\).
Для \(f(x) = -x^2 + 2x + 8\):
При \(x \ge 0\), \(y = -x^2 + 2x + 8\). Это правая половина параболы \(f(x)\) с вершиной в \((1, 9)\) и пересечением с осью \(Oy\) в \((0, 8)\).
При \(x < 0\), \(y = -(-x)^2 + 2(-x) + 8 = -x^2 - 2x + 8\).
График \(y = f(|x|)\) будет симметричен относительно оси \(Oy\). Он будет иметь две "вершины" или "пика" (если смотреть на график как на горы): одну в \((1, 9)\) и вторую в \((-1, 9)\) (симметрично отраженную). Точка пересечения с осью \(Oy\) будет \((0, 8)\). Пересечения с осью \(Ox\) будут в \((-4, 0)\), \((-2, 0)\), \((2, 0)\), \((4, 0)\) (если \(f(|x|) = 0\), то \(|x| = -2\) (нет решений) или \(|x| = 4\), откуда \(x = \pm 4\)).
(Примечание: в данном случае \(f(|x|) = -|x|^2 + 2|x| + 8\). Поскольку \(|x|^2 = x^2\), то \(f(|x|) = -x^2 + 2|x| + 8\). Корни \(f(|x|) = 0\) будут \(|x| = -2\) (нет решений) и \(|x| = 4\), что дает \(x = \pm 4\). Таким образом, график \(y = f(|x|)\) пересекает ось \(Ox\) в точках \((-4, 0)\) и \((4, 0)\). Вершины будут в \((1, 9)\) и \((-1, 9)\).
Ответы на вопросы:
2) Интервалы знакопостоянства: \((-2; 4)\)
3) Промежутки монотонности: \((-\infty; 1]\)
4) Множество значений на \([2; +\infty)\): \((-\infty; 8]\)