Задача:
На рисунке изображена часть цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 3, высота равна \(\frac{5}{\pi}\). Найдите объём изображённой части цилиндра.
Решение:
1. Сначала найдём объём всего цилиндра. Формула для объёма цилиндра: \(V_{цилиндра} = \pi \cdot R^2 \cdot H\), где \(R\) — радиус основания, \(H\) — высота.
2. По условию задачи, радиус \(R = 3\), а высота \(H = \frac{5}{\pi}\).
3. Подставим эти значения в формулу объёма цилиндра:
\[V_{цилиндра} = \pi \cdot (3)^2 \cdot \frac{5}{\pi}\] \[V_{цилиндра} = \pi \cdot 9 \cdot \frac{5}{\pi}\]4. Сократим \(\pi\) в числителе и знаменателе:
\[V_{цилиндра} = 9 \cdot 5\] \[V_{цилиндра} = 45\]Итак, объём всего цилиндра равен 45.
5. Теперь определим, какую часть от всего цилиндра составляет изображённая часть. На рисунке показан сектор с углом 50°. Полный круг составляет 360°.
6. Доля изображённой части от всего цилиндра равна отношению угла сектора к полному углу:
\[Доля = \frac{50^\circ}{360^\circ}\]7. Упростим эту дробь:
\[Доля = \frac{5}{36}\]8. Чтобы найти объём изображённой части цилиндра, нужно умножить объём всего цилиндра на эту долю:
\[V_{части} = V_{цилиндра} \cdot Доля\] \[V_{части} = 45 \cdot \frac{5}{36}\]9. Выполним умножение. Можно сократить 45 и 36 на 9:
\[V_{части} = \frac{45}{9} \cdot \frac{5}{36/9}\] \[V_{части} = 5 \cdot \frac{5}{4}\] \[V_{части} = \frac{25}{4}\]10. Переведём дробь в десятичное число:
\[V_{части} = 6.25\]Ответ:
Объём изображённой части цилиндра равен 6.25.