school
Общие знания
verified
Решено AI
Решение задачи на объем тела вращения трапеции
help_outline
Условие задачи
lightbulb
Краткий ответ
Задача решается через нахождение объемов цилиндра и конусов, полученных при вращении трапеции вокруг большего основания. Представлено пошаговое решение с рисунком.
Подробное решение
Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику:
Объем тела вращения
Задача:
Основания трапеции равны 8 и 2. Углы, прилежащие к большему основанию, равны по 45°. Найдите объем тела, образованного вращением трапеции вокруг большего основания. В поле для ответа введите число, полученное делением Вашего ответа на \(\pi\).
Решение:
1. Нарисуем трапецию и представим, как она вращается вокруг большего основания.
Пусть трапеция будет ABCD, где AD - большее основание, BC - меньшее основание.
AD = 8, BC = 2.
Углы при основании AD: \(\angle DAB = \angle CDA = 45^\circ\).
2. Опустим высоты из вершин B и C на основание AD.
Пусть BH и CK - высоты.
Тогда BCKH - прямоугольник, и HK = BC = 2.
3. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и CDK.
В треугольнике ABH:
\(\angle AHB = 90^\circ\), \(\angle BAH = 45^\circ\).
Следовательно, \(\angle ABH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\).
Значит, треугольник ABH равнобедренный, и AH = BH.
Аналогично, в треугольнике CDK:
\(\angle CKD = 90^\circ\), \(\angle CDK = 45^\circ\).
Следовательно, \(\angle DCK = 45^\circ\).
Значит, треугольник CDK равнобедренный, и KD = CK.
4. Найдем длины отрезков AH и KD.
AD = AH + HK + KD.
Так как AH = KD (из симметрии трапеции с равными углами при основании), то
\(8 = AH + 2 + AH\)
\(8 = 2 \cdot AH + 2\)
\(6 = 2 \cdot AH\)
\(AH = 3\).
Следовательно, KD = 3.
5. Высота трапеции \(h = BH = CK = AH = 3\).
6. Тело, образованное вращением трапеции вокруг большего основания, состоит из:
* Цилиндра в центре.
* Двух конусов по бокам.
Радиус основания цилиндра и конусов равен высоте трапеции: \(R = h = 3\).
7. Параметры цилиндра:
Радиус \(R = 3\).
Высота \(H_{цил} = BC = 2\).
Объем цилиндра: \(V_{цил} = \pi R^2 H_{цил} = \pi \cdot 3^2 \cdot 2 = \pi \cdot 9 \cdot 2 = 18\pi\).
8. Параметры конусов:
Радиус \(R = 3\).
Высота каждого конуса \(H_{кон} = AH = KD = 3\).
Объем одного конуса: \(V_{кон} = \frac{1}{3} \pi R^2 H_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 3 = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 3 = 9\pi\).
9. Общий объем тела вращения:
\(V_{тела} = V_{цил} + 2 \cdot V_{кон}\)
\(V_{тела} = 18\pi + 2 \cdot 9\pi\)
\(V_{тела} = 18\pi + 18\pi\)
\(V_{тела} = 36\pi\).
10. В поле для ответа нужно ввести число, полученное делением Вашего ответа на \(\pi\).
\(Ответ = \frac{V_{тела}}{\pi} = \frac{36\pi}{\pi} = 36\).
Ответ: 36