Задача:
Движение точки M задано уравнением \(x = 2t^2 - 4t^3\) (x - в м, t - в с). Начало движения \(t = 0\). Определите направление движения точки в моменты времени:
а) \(t = 0,25\) с;
б) \(t = 0,5\) с?
Решение:
Для того чтобы определить направление движения точки, нам нужно найти её скорость. Скорость - это первая производная координаты по времени.
1. Найдем уравнение скорости \(v(t)\):
Дано уравнение координаты: \(x(t) = 2t^2 - 4t^3\)
Скорость \(v(t)\) находится как производная \(x(t)\) по \(t\):
\[v(t) = \frac{dx}{dt}\]
\[v(t) = \frac{d}{dt}(2t^2 - 4t^3)\]
\[v(t) = 2 \cdot 2t^{2-1} - 4 \cdot 3t^{3-1}\]
\[v(t) = 4t - 12t^2\]
2. Определим направление движения для каждого момента времени:
а) Для \(t = 0,25\) с:
Подставим значение \(t\) в уравнение скорости:
\[v(0,25) = 4 \cdot (0,25) - 12 \cdot (0,25)^2\]
\[v(0,25) = 1 - 12 \cdot (0,0625)\]
\[v(0,25) = 1 - 0,75\]
\[v(0,25) = 0,25 \text{ м/с}\]
Так как скорость \(v(0,25) = 0,25\) м/с является положительной, это означает, что точка движется в положительном направлении оси x (вправо).
б) Для \(t = 0,5\) с:
Подставим значение \(t\) в уравнение скорости:
\[v(0,5) = 4 \cdot (0,5) - 12 \cdot (0,5)^2\]
\[v(0,5) = 2 - 12 \cdot (0,25)\]
\[v(0,5) = 2 - 3\]
\[v(0,5) = -1 \text{ м/с}\]
Так как скорость \(v(0,5) = -1\) м/с является отрицательной, это означает, что точка движется в отрицательном направлении оси x (влево).
Вывод:
В момент времени \(t = 0,25\) с точка движется вправо.
В момент времени \(t = 0,5\) с точка движется влево.
Ответ:
1. В момент \(t = 0,25\) с: вправо (обозначается стрелкой вправо →)
2. В момент \(t = 0,5\) с: влево (обозначается стрелкой влево ←)
Следовательно, правильный вариант ответа из предложенных будет тот, который соответствует "→, ←".