Выберите один из вариантов ответа.
На изображении представлен график функции, похожий на "галочку" или "крышу". Это характерный вид графика функции, содержащей модуль. Вершина этой "галочки" находится в точке \((-2, 7)\).
Общий вид функции с модулем, имеющей вершину в точке \((x_0, y_0)\), это \(y = a|x - x_0| + y_0\).
Если ветви графика направлены вниз, то коэффициент \(a\) должен быть отрицательным. Если ветви направлены вверх, то \(a\) положительный.
По графику видно, что:
- Вершина находится в точке \((x_0, y_0) = (-2, 7)\).
- Ветви графика направлены вниз.
Значит, наша функция должна иметь вид \(y = -a|x - (-2)| + 7\), или \(y = -a|x + 2| + 7\), где \(a > 0\).
Давайте проверим предложенные варианты:
1. \(y = 7 - |x + 2|\)
Здесь \(y = -1 \cdot |x + 2| + 7\). Вершина \((-2, 7)\), ветви вниз. Коэффициент \(a = 1\). Проверим наклон ветвей. Возьмем точку на графике, например, \((0, 3)\). Подставим \(x = 0\): \(y = 7 - |0 + 2| = 7 - |2| = 7 - 2 = 5\). На графике при \(x = 0\), \(y = 3\). Значит, этот вариант не подходит.
2. \(y = 7 - 4|x - 2|\)
Вершина \((2, 7)\). Это не соответствует графику. Не подходит.
3. \(y = 7 - |4x + 8|\)
Перепишем: \(y = 7 - |4(x + 2)| = 7 - 4|x + 2|\). Здесь \(y = -4 \cdot |x + 2| + 7\). Вершина \((-2, 7)\), ветви вниз. Коэффициент \(a = 4\). Проверим наклон ветвей. Возьмем точку на графике, например, \((0, 3)\). Подставим \(x = 0\): \(y = 7 - 4|0 + 2| = 7 - 4|2| = 7 - 4 \cdot 2 = 7 - 8 = -1\). На графике при \(x = 0\), \(y = 3\). Значит, этот вариант не подходит.
4. \(y = |x + 8| + 1\)
Вершина \((-8, 1)\), ветви вверх. Не соответствует графику. Не подходит.
5. \(y = 9 - |2x + 4|\)
Перепишем: \(y = 9 - |2(x + 2)| = 9 - 2|x + 2|\). Здесь \(y = -2 \cdot |x + 2| + 9\). Вершина \((-2, 9)\). На графике вершина \((-2, 7)\). Не подходит.
6. \(y = |x - 2| + 7\)
Вершина \((2, 7)\), ветви вверх. Не соответствует графику. Не подходит.
7. \(y = |x + 8| - 9\)
Вершина \((-8, -9)\), ветви вверх. Не соответствует графику. Не подходит.
8. \(y = 9 - |x + 4|\)
Здесь \(y = -1 \cdot |x + 4| + 9\). Вершина \((-4, 9)\). На графике вершина \((-2, 7)\). Не подходит.
Похоже, что ни один из предложенных вариантов не соответствует графику точно. Давайте перепроверим мои вычисления и внимательно посмотрим на график.
Вершина графика: \((-2, 7)\).
Точки пересечения с осью \(Ox\): \((-4, 0)\) и \((0, 0)\).
Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0, 0)\).
Если вершина \((-2, 7)\) и ветви вниз, то функция имеет вид \(y = -a|x - (-2)| + 7 = -a|x + 2| + 7\).
Теперь используем одну из точек пересечения с осью \(Ox\), например, \((0, 0)\).
Подставим \((0, 0)\) в уравнение: \(0 = -a|0 + 2| + 7\).
\[ 0 = -a|2| + 7 \] \[ 0 = -2a + 7 \] \[ 2a = 7 \] \[ a = \frac{7}{2} = 3.5 \]Значит, функция должна быть \(y = -3.5|x + 2| + 7\).
Давайте проверим вторую точку пересечения с осью \(Ox\), \((-4, 0)\):
\[ 0 = -3.5|-4 + 2| + 7 \] \[ 0 = -3.5|-2| + 7 \] \[ 0 = -3.5 \cdot 2 + 7 \] \[ 0 = -7 + 7 \] \[ 0 = 0 \]Это верно.
Итак, функция, соответствующая графику, это \(y = -3.5|x + 2| + 7\).
Теперь посмотрим на предложенные варианты еще раз, возможно, я что-то упустил или есть опечатка в вариантах/графике.
Ни один из предложенных вариантов не совпадает с \(y = -3.5|x + 2| + 7\).
Давайте еще раз внимательно посмотрим на график и варианты.
Вершина \((-2, 7)\).
Точки на графике:
- \((-2, 7)\) - вершина
- \((0, 0)\) - пересечение с \(Ox\) и \(Oy\)
- \((-4, 0)\) - пересечение с \(Ox\)
Рассмотрим вариант 1: \(y = 7 - |x + 2|\)
Если \(x = 0\), \(y = 7 - |0 + 2| = 7 - 2 = 5\). На графике \(y = 0\). Не подходит.
Рассмотрим вариант 3: \(y = 7 - |4x + 8| = 7 - 4|x + 2|\)
Если \(x = 0\), \(y = 7 - 4|0 + 2| = 7 - 4 \cdot 2 = 7 - 8 = -1\). На графике \(y = 0\). Не подходит.
Рассмотрим вариант 5: \(y = 9 - |2x + 4| = 9 - 2|x + 2|\)
Если \(x = 0\), \(y = 9 - 2|0 + 2| = 9 - 2 \cdot 2 = 9 - 4 = 5\). На графике \(y = 0\). Не подходит.
Возможно, я неправильно определил точки пересечения с осью \(Ox\). По графику, кажется, что точки пересечения с осью \(Ox\) находятся в \(-4\) и \(0\).
Давайте еще раз проверим наклон. От вершины \((-2, 7)\) до точки \((0, 0)\) по оси \(x\) мы прошли 2 единицы вправо, а по оси \(y\) опустились на 7 единиц вниз. Наклон правой ветви: \(k = \frac{0 - 7}{0 - (-2)} = \frac{-7}{2} = -3.5\).
От вершины \((-2, 7)\) до точки \((-4, 0)\) по оси \(x\) мы прошли 2 единицы влево, а по оси \(y\) опустились на 7 единиц вниз. Наклон левой ветви: \(k = \frac{0 - 7}{-4 - (-2)} = \frac{-7}{-2} = 3.5\).
Таким образом, функция действительно имеет вид \(y = -3.5|x + 2| + 7\).
Если ни один из вариантов не подходит, это может быть ошибкой в задании или в предложенных вариантах.
Однако, если нужно выбрать "наиболее подходящий" или если есть небольшая неточность в графике/вариантах, давайте еще раз посмотрим на структуру.
Все варианты, которые имеют вершину в \((-2, \text{что-то})\) и ветви вниз, это:
- \(y = 7 - |x + 2|\) (вершина \((-2, 7)\), \(a = 1\))
- \(y = 7 - 4|x + 2|\) (вершина \((-2, 7)\), \(a = 4\))
- \(y = 9 - 2|x + 2|\) (вершина \((-2, 9)\), \(a = 2\))
Из этих трех, только первые два имеют правильную \(y\)-координату вершины (7). Но ни один из них не дает правильные точки пересечения с осью \(Ox\).
Давайте предположим, что график нарисован не идеально точно, или что один из вариантов должен быть правильным, и мы должны выбрать ближайший.
Если бы функция была \(y = 7 - |x + 2|\):
Корни: \(7 - |x + 2| = 0 \implies |x + 2| = 7 \implies x + 2 = \pm 7\).
\(x + 2 = 7 \implies x = 5\).
\(x + 2 = -7 \implies x = -9\).
Это не \((-4, 0)\) и \((0, 0)\).
Если бы функция была \(y = 7 - 4|x + 2|\):
Корни: \(7 - 4|x + 2| = 0 \implies 4|x + 2| = 7 \implies |x + 2| = \frac{7}{4} = 1.75\).
\(x + 2 = 1.75 \implies x = -0.25\).
\(x + 2 = -1.75 \implies x = -3.75\).
Это тоже не \((-4, 0)\) и \((0, 0)\).
Возможно, я неправильно определил вершину по графику. Если вершина \((-2, 7)\) и точки пересечения с \(Ox\) \((-4, 0)\) и \((0, 0)\), то функция \(y = -3.5|x + 2| + 7\).
Давайте еще раз посмотрим на варианты, которые имеют \(y_0 = 7\):
1. \(y = 7 - |x + 2|\)
3. \(y = 7 - |4x + 8|\) (что равно \(y = 7 - 4|x + 2|\))
Если бы график был \(y = 7 - |x + 2|\), то при \(x=0\), \(y=5\). На графике \(y=0\). Если бы график был \(y = 7 - 4|x + 2|\), то при \(x=0\), \(y=-1\). На графике \(y=0\).
Есть ли возможность, что вершина не \((-2, 7)\)? Если вершина \((-2, 7)\) и точки \((0, 0)\) и \((-4, 0)\) верны, то функция однозначно \(y = -3.5|x + 2| + 7\).
Давайте предположим, что в одном из вариантов есть опечатка, и он должен быть правильным. Например, если бы был вариант \(y = 7 - \frac{7}{2}|x + 2|\), он был бы правильным.
Если мы должны выбрать из предложенных, то это означает, что либо график неточен, либо варианты неточны, либо я что-то не так интерпретирую.
Давайте еще раз посмотрим на вариант 1: \(y = 7 - |x + 2|\).
Вершина \((-2, 7)\). Это совпадает.
Наклон ветвей: \(k = \pm 1\).
Если \(x > -2\), то \(y = 7 - (x + 2) = 7 - x - 2 = 5 - x\). Наклон \(-1\).
Если \(x < -2\), то \(y = 7 - (-(x + 2)) = 7 + x + 2 = x + 9\). Наклон \(1\).
На графике наклон правой ветви (от \((-2, 7)\) до \((0, 0)\)) равен \(-3.5\). Наклон левой ветви (от \((-2, 7)\) до \((-4, 0)\)) равен \(3.5\).
Таким образом, ни один из предложенных вариантов не соответствует графику.
Однако, в задачах с выбором ответа, если нет точного совпадения, иногда подразумевается "наиболее близкий" или "единственный, который имеет правильную структуру".
Все варианты, кроме 1, 3, 5, имеют неправильную вершину или неправильное направление ветвей.
Вариант 5: \(y = 9 - 2|x + 2|\). Вершина \((-2, 9)\). Не подходит.
Остаются варианты 1 и 3, у которых вершина \((-2, 7)\) и ветви вниз.
1. \(y = 7 - |x + 2|\)
3. \(y = 7 - 4|x + 2|\)
Оба эти варианта имеют правильную вершину и направление ветвей, но неправильный наклон.
Если бы наклон был \(\pm 1\), то точки пересечения с \(Ox\) были бы \((-9, 0)\) и \((5, 0)\).
Если бы наклон был \(\pm 4\), то точки пересечения с \(Ox\) были бы \((-3.75, 0)\) и \(-0.25, 0)\).
График явно показывает точки \((0, 0)\) и \((-4, 0)\) как пересечения с осью \(Ox\).
Если бы вопрос был "выберите функцию, у которой вершина в \((-2, 7)\) и ветви вниз", то подошли бы 1 и 3.
В таких ситуациях, если нет точного совпадения, возможно, есть ошибка в задании. Но если нужно выбрать, то я бы выбрал тот, который имеет правильную вершину и направление, а наклон мог быть искажен при рисовании.
Давайте еще раз проверим все варианты на предмет опечаток или скрытых форм.
\(y = 7 - |4x + 8| = 7 - |4(x + 2)| = 7 - 4|x + 2|\).
Если бы график был \(y = 7 - |x + 2|\), то при \(x = 0\), \(y = 5\). Если бы график был \(y = 7 - 4|x + 2|\), то при \(x = 0\), \(y = -1\).
На графике при \(x =