Решение:

Вот решение задачи: Нам нужно найти предел: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt[3]{(n+2)^2} - \sqrt[3]{(n-3)^2} \right) \] Это предел вида \( \infty - \infty \), поэтому мы воспользуемся формулой для разности кубов: \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \) Отсюда: \( a-b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} \) В нашем случае, пусть \( a = \sqrt[3]{(n+2)^2} \) и \( b = \sqrt[3]{(n-3)^2} \). Тогда \( a^3 = (n+2)^2 \) и \( b^3 = (n-3)^2 \). Подставляем в формулу: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)^2 - (n-3)^2}{\sqrt[3]{(n+2)^4} + \sqrt[3]{(n+2)^2(n-3)^2} + \sqrt[3]{(n-3)^4}} \] Раскроем числитель: \( (n+2)^2 - (n-3)^2 = (n^2 + 4n + 4) - (n^2 - 6n + 9) \) \( = n^2 + 4n + 4 - n^2 + 6n - 9 \) \( = 10n - 5 \) Теперь подставим это обратно в предел: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{10n - 5}{\sqrt[3]{(n+2)^4} + \sqrt[3]{(n+2)^2(n-3)^2} + \sqrt[3]{(n-3)^4}} \] В знаменателе вынесем \( n^{4/3} \) из каждого слагаемого. Заметим, что \( \sqrt[3]{(n+2)^4} = \sqrt[3]{n^4(1+2/n)^4} = n^{4/3}\sqrt[3]{(1+2/n)^4} \) Аналогично, \( \sqrt[3]{(n-3)^4} = n^{4/3}\sqrt[3]{(1-3/n)^4} \) И \( \sqrt[3]{(n+2)^2(n-3)^2} = \sqrt[3]{n^2(1+2/n)^2 n^2(1-3/n)^2} = \sqrt[3]{n^4(1+2/n)^2(1-3/n)^2} = n^{4/3}\sqrt[3]{(1+2/n)^2(1-3/n)^2} \) Таким образом, знаменатель можно записать как: \( n^{4/3} \left( \sqrt[3]{(1+2/n)^4} + \sqrt[3]{(1+2/n)^2(1-3/n)^2} + \sqrt[3]{(1-3/n)^4} \right) \) Теперь предел выглядит так: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{10n - 5}{n^{4/3} \left( \sqrt[3]{(1+2/n)^4} + \sqrt[3]{(1+2/n)^2(1-3/n)^2} + \sqrt[3]{(1-3/n)^4} \right)} \] Разделим числитель и знаменатель на \( n^{4/3} \). В числителе: \( \frac{10n - 5}{n^{4/3}} = \frac{10n}{n^{4/3}} - \frac{5}{n^{4/3}} = \frac{10}{n^{1/3}} - \frac{5}{n^{4/3}} \) Теперь предел: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{10}{n^{1/3}} - \frac{5}{n^{4/3}}}{\sqrt[3]{(1+2/n)^4} + \sqrt[3]{(1+2/n)^2(1-3/n)^2} + \sqrt[3]{(1-3/n)^4}} \] При \( n \to \infty \): \( \frac{10}{n^{1/3}} \to 0 \) \( \frac{5}{n^{4/3}} \to 0 \) \( \frac{2}{n} \to 0 \) \( \frac{3}{n} \to 0 \) Тогда числитель стремится к \( 0 - 0 = 0 \). Знаменатель стремится к: \( \sqrt[3]{(1+0)^4} + \sqrt[3]{(1+0)^2(1-0)^2} + \sqrt[3]{(1-0)^4} \) \( = \sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{1} = 1 + 1 + 1 = 3 \) Таким образом, предел равен: \[ \frac{0}{3} = 0 \] Окончательный ответ: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt[3]{(n+2)^2} - \sqrt[3]{(n-3)^2} \right) = 0 \]