Найдём значение производной функции \(y = 4 \cos 3x\) в точке \(x = \frac{\pi}{6}\).
Решение:
1. Сначала найдём производную функции \(y = 4 \cos 3x\).
Используем правило дифференцирования сложной функции: \((f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\).
В нашем случае \(f(u) = 4 \cos u\) и \(u = g(x) = 3x\).
Производная от \(4 \cos u\) по \(u\) равна \(-4 \sin u\).
Производная от \(3x\) по \(x\) равна \(3\).
Тогда производная функции \(y\) по \(x\) будет:
\[y' = (4 \cos 3x)' = 4 \cdot (-\sin 3x) \cdot (3x)'\] \[y' = 4 \cdot (-\sin 3x) \cdot 3\] \[y' = -12 \sin 3x\]2. Теперь подставим значение \(x = \frac{\pi}{6}\) в полученную производную.
\[y'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -12 \sin \left(3 \cdot \frac{\pi}{6}\right)\] \[y'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -12 \sin \left(\frac{3\pi}{6}\right)\] \[y'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -12 \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)\]3. Известно, что \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\).
Подставим это значение:
\[y'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -12 \cdot 1\] \[y'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -12\]Ответ: Значение производной функции \(y = 4 \cos 3x\) в точке \(x = \frac{\pi}{6}\) равно \(-12\).