Решение задачи B21: Определение молярной массы и числа степеней свободы газа

Задача B21* Найти молярную массу и число степеней свободы молекул идеального газа, если известны его удельные теплоемкости: \(c_V = 0,65 \text{ кДж/(кг}\cdot\text{К)}\) и \(c_p = 0,91 \text{ кДж/(кг}\cdot\text{К)}\). Решение: Дано: \(c_V = 0,65 \text{ кДж/(кг}\cdot\text{К)} = 650 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}\) \(c_p = 0,91 \text{ кДж/(кг}\cdot\text{К)} = 910 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}\) Универсальная газовая постоянная \(R = 8,314 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}\) 1. Найдем молярную массу газа. Для идеального газа справедливо соотношение Майера, которое связывает молярные теплоемкости \(C_p\) и \(C_V\): \[C_p - C_V = R\] Удельные теплоемкости \(c_p\) и \(c_V\) связаны с молярными теплоемкостями \(C_p\) и \(C_V\) через молярную массу \(M\): \[C_p = c_p \cdot M\] \[C_V = c_V \cdot M\] Подставим эти выражения в соотношение Майера: \[c_p \cdot M - c_V \cdot M = R\] Вынесем \(M\) за скобки: \[M(c_p - c_V) = R\] Отсюда выразим молярную массу \(M\): \[M = \frac{R}{c_p - c_V}\] Подставим числовые значения: \[M = \frac{8,314 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}}{910 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)} - 650 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}}\] \[M = \frac{8,314 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}}{260 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}}\] \[M \approx 0,03197 \text{ кг/моль}\] Округлим до более удобного значения: \[M \approx 0,032 \text{ кг/моль} = 32 \text{ г/моль}\] Это значение молярной массы соответствует кислороду (\(\text{O}_2\)). 2. Найдем число степеней свободы молекул газа. Для идеального газа молярная теплоемкость при постоянном объеме \(C_V\) связана с числом степеней свободы \(i\) формулой: \[C_V = \frac{i}{2} R\] Отсюда выразим число степеней свободы \(i\): \[i = \frac{2 C_V}{R}\] Мы знаем, что \(C_V = c_V \cdot M\). Подставим это: \[i = \frac{2 \cdot c_V \cdot M}{R}\] Подставим числовые значения: \[i = \frac{2 \cdot 650 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)} \cdot 0,03197 \text{ кг/моль}}{8,314 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}}\] \[i \approx \frac{41,561}{8,314} \approx 5\] Число степеней свободы должно быть целым числом, поэтому округляем до 5. Также можно использовать отношение теплоемкостей (показатель адиабаты) \(\gamma\): \[\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{c_p \cdot M}{c_V \cdot M} = \frac{c_p}{c_V}\] \[\gamma = \frac{910 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}}{650 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}} = 1,4\] Для идеального газа показатель адиабаты \(\gamma\) связан с числом степеней свободы \(i\) формулой: \[\gamma = 1 + \frac{2}{i}\] Выразим \(i\): \[\frac{2}{i} = \gamma - 1\] \[i = \frac{2}{\gamma - 1}\] Подставим значение \(\gamma\): \[i = \frac{2}{1,4 - 1} = \frac{2}{0,4} = 5\] Оба способа дают одинаковый результат. Ответ: Молярная масса газа \(M \approx 0,032 \text{ кг/моль}\) (или \(32 \text{ г/моль}\)). Число степеней свободы молекул газа \(i = 5\). Задача B24* Поглощает или выделяет тепло идеальный газ при расширении, если его давление и объем связаны соотношением \(p = \alpha \cdot V\)? Найти подведенное к молю газа (или отведенное от него) количество тепла, если в таком процессе температура газа возросла на величину \(\Delta T\), малую по сравнению с начальной температурой газа. Газ считать двухатомным. Решение: Дано: Процесс: \(p = \alpha \cdot V\) Газ идеальный, двухатомный. Изменение температуры: \(\Delta T\) (малое). Найти: \(Q\) (количество тепла) и определить, поглощается или выделяется. 1. Определим, поглощается или выделяется тепло. Для идеального газа уравнение состояния Менделеева-Клапейрона для одного моля: \[pV = RT\] Подставим заданное соотношение \(p = \alpha \cdot V\): \[(\alpha \cdot V) \cdot V = RT\] \[\alpha V^2 = RT\] Выразим температуру \(T\): \[T = \frac{\alpha V^2}{R}\] При расширении объем \(V\) увеличивается. Из формулы видно, что при увеличении \(V\), температура \(T\) также увеличивается (так как \(\alpha\) и \(R\) - положительные постоянные). \[\frac{dT}{dV} = \frac{2\alpha V}{R} > 0\] Это означает, что при расширении (\(dV > 0\)) температура газа возрастает (\(dT > 0\)). Согласно первому началу термодинамики для одного моля газа: \[\delta Q = dU + \delta A\] где \(\delta Q\) – подведенное тепло, \(dU\) – изменение внутренней энергии, \(\delta A\) – работа, совершаемая газом. Изменение внутренней энергии для одного моля идеального газа: \[dU = C_V dT\] где \(C_V\) – молярная теплоемкость при постоянном объеме. Для двухатомного газа число степеней свободы \(i = 5\). Молярная теплоемкость при постоянном объеме: \[C_V = \frac{i}{2} R = \frac{5}{2} R\] Значит, \(dU = \frac{5}{2} R dT\). Работа, совершаемая газом при расширении: \[\delta A = p dV\] Так как газ расширяется, \(dV > 0\). Давление \(p = \alpha V\) всегда положительно. Следовательно, \(\delta A > 0\). Газ совершает положительную работу. Поскольку температура газа возрастает (\(dT > 0\)), то внутренняя энергия газа увеличивается (\(dU > 0\)). Так как \(dU > 0\) и \(\delta A > 0\), то \(\delta Q = dU + \delta A > 0\). Положительное значение \(\delta Q\) означает, что газ поглощает тепло. 2. Найдем количество подведенного тепла \(Q\). Нам дано, что температура газа возросла на \(\Delta T\), причем \(\Delta T\) мало по сравнению с начальной температурой. Это позволяет использовать дифференциальные соотношения. \[Q = \Delta U + A\] Изменение внутренней энергии: \[\Delta U = C_V \Delta T = \frac{5}{2} R \Delta T\] Для нахождения работы \(A\) нам нужно проинтегрировать \(p dV\). \[A = \int p dV\] Мы знаем, что \(p = \alpha V\). Также мы знаем, что \(T = \frac{\alpha V^2}{R}\). Пусть начальная температура \(T_0\) соответствует объему \(V_0\), а конечная температура \(T_0 + \Delta T\) соответствует объему \(V\). \[T_0 = \frac{\alpha V_0^2}{R}\] \[T_0 + \Delta T = \frac{\alpha V^2}{R}\] Вычтем первое уравнение из второго: \[\Delta T = \frac{\alpha}{R} (V^2 - V_0^2)\] Так как \(\Delta T\) мало, то \(V\) очень близко к \(V_0\). Пусть \(V = V_0 + dV\). Тогда \(V^2 - V_0^2 = (V_0 + dV)^2 - V_0^2 = V_0^2 + 2V_0 dV + (dV)^2 - V_0^2 \approx 2V_0 dV\) (пренебрегаем \((dV)^2\) как величиной второго порядка малости). Значит, \(\Delta T \approx \frac{\alpha}{R} (2V_0 dV)\). Отсюда \(dV = \frac{R \Delta T}{2\alpha V_0}\). Работа \(A\) при малом изменении объема: \[A = p dV\] где \(p\) можно считать равным начальному давлению \(p_0 = \alpha V_0\). \[A = (\alpha V_0) \cdot \frac{R \Delta T}{2\alpha V_0} = \frac{R \Delta T}{2}\] Теперь найдем общее количество тепла \(Q\): \[Q = \Delta U + A = \frac{5}{2} R \Delta T + \frac{1}{2} R \Delta T\] \[Q = \left(\frac{5}{2} + \frac{1}{2}\right) R \Delta T = \frac{6}{2} R \Delta T = 3 R \Delta T\] Проверим еще раз. Из \(T = \frac{\alpha V^2}{R}\) следует \(dT = \frac{2\alpha V}{R} dV\). Тогда \(dV = \frac{R dT}{2\alpha V}\). Работа \(\delta A = p dV = (\alpha V) \frac{R dT}{2\alpha V} = \frac{R}{2} dT\). Количество тепла \(\delta Q = dU + \delta A = C_V dT + \frac{R}{2} dT = \frac{5}{2} R dT + \frac{R}{2} dT = 3 R dT\). Интегрируя это выражение для малого изменения температуры \(\Delta T\): \[Q = \int_{T_0}^{T_0+\Delta T} 3R dT = 3R \Delta T\] Ответ: Газ поглощает тепло. Количество подведенного тепла \(Q = 3 R \Delta T\).