Решение задачи: Найти отрезок x в окружности

Вот решение задачи с подробным объяснением, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Задача 1. По данным рис. 1 найдите отрезок, обозначенный через \(x\) (\(O\) – центр окружности). Для решения этой задачи мы будем использовать теорему о пересекающихся хордах. Теорема о пересекающихся хордах: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Приступим к решению каждого пункта.

а)

На рисунке а) изображены две хорды, которые пересекаются внутри окружности. Одна хорда разделена на отрезки длиной 5 и 2,5. Другая хорда разделена на отрезки длиной 2 и \(x\). По теореме о пересекающихся хордах: Произведение отрезков первой хорды равно произведению отрезков второй хорды. То есть: \(5 \cdot 2,5 = 2 \cdot x\) Теперь решим это уравнение, чтобы найти \(x\). \(12,5 = 2x\) Чтобы найти \(x\), разделим обе части уравнения на 2: \(x = \frac{12,5}{2}\) \(x = 6,25\) Ответ для а): \(x = 6,25\).

б)

На рисунке б) также изображены две хорды, пересекающиеся внутри окружности. Одна хорда разделена на отрезки длиной 9 и 16. Другая хорда разделена на два равных отрезка, каждый из которых обозначен как \(x\). Это означает, что длина каждого отрезка этой хорды равна \(x\). По теореме о пересекающихся хордах: Произведение отрезков первой хорды равно произведению отрезков второй хорды. То есть: \(9 \cdot 16 = x \cdot x\) \(9 \cdot 16 = x^2\) Теперь вычислим произведение: \(144 = x^2\) Чтобы найти \(x\), нужно извлечь квадратный корень из 144. Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, мы берем только положительное значение. \(x = \sqrt{144}\) \(x = 12\) Ответ для б): \(x = 12\).

в)

На рисунке в) изображены две хорды \(AB\) и \(CD\), которые пересекаются в точке \(P\). Также указан центр окружности \(O\). Хорда \(AB\) разделена на отрезки \(AP = 3\) и \(PB = 4\). Хорда \(CD\) разделена на отрезки \(CP = x\) и \(PD\). Из рисунка видно, что точка \(O\) является центром окружности, а отрезок \(PD\) состоит из отрезков \(PO\) и \(OD\). Длина отрезка \(PO = 2\). Отрезок \(OD\) является радиусом окружности. Отрезок \(OA\) также является радиусом окружности. Мы знаем, что \(AP = 3\) и \(PB = 4\). Значит, длина всей хорды \(AB = AP + PB = 3 + 4 = 7\). Точка \(P\) находится на расстоянии 2 от центра \(O\). Радиус окружности \(R\). Рассмотрим хорду \(AB\). Расстояние от центра \(O\) до хорды \(AB\) можно найти, если провести перпендикуляр из \(O\) к \(AB\). Однако, в данном случае, мы можем использовать теорему о пересекающихся хордах напрямую. По теореме о пересекающихся хордах: Произведение отрезков хорды \(AB\) равно произведению отрезков хорды \(CD\). \(AP \cdot PB = CP \cdot PD\) \(3 \cdot 4 = x \cdot PD\) \(12 = x \cdot PD\) Теперь нам нужно найти длину отрезка \(PD\). Мы знаем, что \(O\) – центр окружности, и \(PO = 2\). Отрезок \(OD\) – это радиус окружности. Чтобы найти радиус, мы можем использовать хорду \(AB\). Пусть \(M\) – середина хорды \(AB\). Тогда \(AM = MB = \frac{7}{2} = 3,5\). Расстояние от центра \(O\) до хорды \(AB\) (обозначим его \(h\)) можно найти, если рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной хорды и расстоянием от центра до хорды. Однако, в данном случае, мы можем использовать тот факт, что \(P\) – точка пересечения хорд. Длина отрезка \(OP = 2\). Длина отрезка \(OD\) – это радиус \(R\). Длина отрезка \(OC\) – это радиус \(R\). Значит, \(CD = CP + PD = x + PD\). Также \(CD = CO + OD = R + R = 2R\), если бы \(CD\) была диаметром. Но \(CD\) не обязательно диаметр. Однако, \(CD\) проходит через центр \(O\), так как \(O\) лежит на \(PD\). Это означает, что \(CD\) является диаметром. Если \(CD\) – диаметр, то \(PD = PO + OD = 2 + R\). И \(CP = CO - PO = R - 2\). Тогда \(CD = CP + PD = (R - 2) + (R + 2) = 2R\). Это подтверждает, что \(CD\) – диаметр. Теперь нам нужно найти радиус \(R\). Мы знаем, что \(AP = 3\) и \(PB = 4\). Длина хорды \(AB = 3 + 4 = 7\). Точка \(P\) находится на расстоянии 2 от центра \(O\). Рассмотрим хорду \(AB\). Расстояние от центра \(O\) до хорды \(AB\) (обозначим его \(h_{AB}\)) можно найти. Пусть \(K\) – середина хорды \(AB\). Тогда \(AK = KB = 7/2 = 3,5\). В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(R\), катетом \(h_{AB}\) и катетом \(3,5\): \(R^2 = h_{AB}^2 + (3,5)^2\). Мы знаем, что \(P\) – точка пересечения хорд. Расстояние от центра \(O\) до точки \(P\) равно 2. Рассмотрим хорду \(AB\). Точка \(P\) делит ее на отрезки 3 и 4. Расстояние от центра \(O\) до хорды \(AB\) можно найти, используя формулу для радиуса окружности, если известны отрезки хорды и расстояние от центра до точки пересечения. Однако, проще использовать свойство, что для любой хорды, проходящей через точку \(P\), произведение отрезков постоянно. Мы уже использовали это: \(AP \cdot PB = CP \cdot PD\). \(3 \cdot 4 = x \cdot PD\) \(12 = x \cdot PD\) Теперь нам нужно найти \(PD\) или \(x\) через радиус. Так как \(CD\) является диаметром, то \(PD = R + PO = R + 2\). И \(CP = R - PO = R - 2\). Подставим эти выражения в уравнение: \(12 = (R - 2) \cdot (R + 2)\) Это формула разности квадратов: \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\). \(12 = R^2 - 2^2\) \(12 = R^2 - 4\) Теперь найдем \(R^2\): \(R^2 = 12 + 4\) \(R^2 = 16\) \(R = \sqrt{16}\) \(R = 4\) Теперь, когда мы знаем радиус \(R = 4\), мы можем найти \(x\). \(x = CP = R - 2\) \(x = 4 - 2\) \(x = 2\) Проверим: \(PD = R + 2 = 4 + 2 = 6\). Тогда \(CP \cdot PD = 2 \cdot 6 = 12\). И \(AP \cdot PB = 3 \cdot 4 = 12\). Значения совпадают, значит, решение верное. Ответ для в): \(x = 2\).

Итоговые ответы:

а) \(x = 6,25\) б) \(x = 12\) в) \(x = 2\)