Решение интеграла ∫sin(x^2) dx разложением в ряд с точностью 10^-4

Задача 4. Разложить подынтегральную функцию в степенной ряд и вычислить интеграл \[ \int_{0}^{1/2} \sin(x^2) dx \] с точностью до \( \varepsilon = 10^{-4} \). Решение: 1. Разложим функцию \( \sin(x^2) \) в степенной ряд. Известно разложение функции \( \sin(t) \) в ряд Маклорена: \[ \sin(t) = t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \frac{t^7}{7!} + \dots + (-1)^n \frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!} + \dots \] Подставим \( t = x^2 \) в это разложение: \[ \sin(x^2) = x^2 - \frac{(x^2)^3}{3!} + \frac{(x^2)^5}{5!} - \frac{(x^2)^7}{7!} + \dots \] \[ \sin(x^2) = x^2 - \frac{x^6}{3!} + \frac{x^{10}}{5!} - \frac{x^{14}}{7!} + \dots + (-1)^n \frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!} + \dots \] Этот ряд сходится для всех \( x \in (-\infty, +\infty) \). 2. Проинтегрируем полученный ряд почленно. \[ \int_{0}^{1/2} \sin(x^2) dx = \int_{0}^{1/2} \left( x^2 - \frac{x^6}{3!} + \frac{x^{10}}{5!} - \frac{x^{14}}{7!} + \dots \right) dx \] \[ = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^7}{7 \cdot 3!} + \frac{x^{11}}{11 \cdot 5!} - \frac{x^{15}}{15 \cdot 7!} + \dots \right]_{0}^{1/2} \] Подставим пределы интегрирования: \[ = \frac{(1/2)^3}{3} - \frac{(1/2)^7}{7 \cdot 3!} + \frac{(1/2)^{11}}{11 \cdot 5!} - \frac{(1/2)^{15}}{15 \cdot 7!} + \dots \] \[ = \frac{1}{3 \cdot 2^3} - \frac{1}{7 \cdot 6 \cdot 2^7} + \frac{1}{11 \cdot 120 \cdot 2^{11}} - \frac{1}{15 \cdot 5040 \cdot 2^{15}} + \dots \] \[ = \frac{1}{3 \cdot 8} - \frac{1}{42 \cdot 128} + \frac{1}{1320 \cdot 2048} - \frac{1}{75600 \cdot 32768} + \dots \] \[ = \frac{1}{24} - \frac{1}{5376} + \frac{1}{2703360} - \dots \] 3. Оценим точность вычисления. Полученный ряд является знакопеременным рядом Лейбница, так как его члены убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю. Для такого ряда абсолютная погрешность при отбрасывании всех членов, начиная с некоторого, не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена. Нам нужна точность \( \varepsilon = 10^{-4} \). Вычислим первые члены ряда: Первый член: \( a_1 = \frac{1}{24} \approx 0.041666 \) Второй член: \( a_2 = \frac{1}{5376} \approx 0.000186 \) Третий член: \( a_3 = \frac{1}{2703360} \approx 0.00000037 \) Мы видим, что \( |a_3| \approx 0.00000037 < 10^{-4} \). Следовательно, для достижения заданной точности \( \varepsilon = 10^{-4} \), достаточно взять сумму первых двух членов ряда. 4. Вычислим сумму первых двух членов: \[ \int_{0}^{1/2} \sin(x^2) dx \approx \frac{1}{24} - \frac{1}{5376} \] Приведем к общему знаменателю: \( 5376 = 24 \cdot 224 \) \[ \approx \frac{224}{24 \cdot 224} - \frac{1}{5376} = \frac{224 - 1}{5376} = \frac{223}{5376} \] Вычислим десятичное значение: \[ \frac{223}{5376} \approx 0.04148065 \dots \] Округлим до четырех знаков после запятой: \[ \approx 0.0415 \] Окончательный ответ: \[ \int_{0}^{1/2} \sin(x^2) dx \approx 0.0415 \]