Решение задачи: Найдите угол MOB

Решение задачи: Дано: Окружность с центром \(O\). Диаметр \(AB = 4\). Точка \(M\) на окружности, ближе к \(A\), чем к \(B\). Через \(M\) проведена касательная к окружности. Лучи из \(A\) и \(B\) перпендикулярны \(AB\). Эти лучи пересекают касательную в точках \(D\) и \(C\) соответственно. Угол \(\angle DCB = 60^\circ\). Найти: \(\angle MOB\). Решение: 1. Радиус окружности. Так как диаметр \(AB = 4\), то радиус окружности \(R = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2\). Значит, \(OA = OB = OM = 2\). 2. Свойства касательной. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \(OM \perp DC\). Это означает, что \(\angle OMD = \angle OMC = 90^\circ\). 3. Рассмотрим прямые \(AD\) и \(BC\). По условию, лучи из \(A\) и \(B\) перпендикулярны \(AB\). Значит, \(AD \perp AB\) и \(BC \perp AB\). Из этого следует, что \(AD \parallel BC\), так как обе прямые перпендикулярны одной и той же прямой \(AB\). 4. Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\). Поскольку \(AD \parallel BC\) и \(AD \perp AB\), \(BC \perp AB\), то \(ABCD\) является трапецией с основаниями \(AD\) и \(BC\). Прямая \(DC\) является касательной. 5. Рассмотрим треугольник \(OBC\). В треугольнике \(OBC\), \(OB = OM = 2\). Угол \(\angle DCB = 60^\circ\). Так как \(BC \perp AB\), то \(\angle ABC = 90^\circ\). В трапеции \(ABCD\), сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна \(180^\circ\). \(\angle DAB + \angle ADC = 180^\circ\) и \(\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ\). Но это не совсем так, так как \(DC\) - касательная, а не боковая сторона трапеции. Давайте рассмотрим углы, образованные касательной. 6. Рассмотрим треугольник \(OBC\). Проведем радиус \(OM\). \(OM \perp DC\). Рассмотрим прямоугольную трапецию \(ADCB\). \(AD \parallel BC\). Проведем высоту из точки \(D\) на \(BC\), или из \(A\) на \(DC\). Это не совсем удобно. 7. Используем свойство касательной и радиуса. Пусть \(\angle MOB = \alpha\). В равнобедренном треугольнике \(MOB\) (\(OM = OB = R\)), углы при основании равны: \(\angle OMB = \angle OBM = \frac{180^\circ - \alpha}{2}\). 8. Рассмотрим треугольник \(OBC\). \(OM \perp DC\). \(\angle OMC = 90^\circ\). Мы знаем \(\angle DCB = 60^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(OMC\), \(\angle MOC = 90^\circ - \angle OCM\). \(\angle OCM\) - это часть угла \(\angle DCB\). Но \(\angle OCM\) - это не \(\angle DCB\). 9. Рассмотрим четырехугольник \(OMCB\). \(\angle OMC = 90^\circ\). \(\angle OBC = 90^\circ\) (так как \(BC \perp AB\)). Сумма углов четырехугольника \(OMCB\) равна \(360^\circ\). \(\angle MOB + \angle OBC + \angle BCM + \angle CMO = 360^\circ\). \(\angle MOB + 90^\circ + \angle BCM + 90^\circ = 360^\circ\). \(\angle MOB + \angle BCM = 180^\circ\). Мы знаем \(\angle DCB = 60^\circ\). Значит \(\angle BCM = 60^\circ\). Тогда \(\angle MOB + 60^\circ = 180^\circ\). \(\angle MOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Проверим этот шаг. Действительно, \(OM \perp DC\) и \(BC \perp AB\). Прямая \(AB\) проходит через центр \(O\). Рассмотрим систему координат с началом в \(O\). Точка \(B\) имеет координаты \((R, 0)\). Точка \(A\) имеет координаты \((-R, 0)\). Прямая \(BC\) - это вертикальная прямая \(x = R\). Прямая \(AD\) - это вертикальная прямая \(x = -R\). Пусть точка \(M\) имеет координаты \((R \cos \theta, R \sin \theta)\). Угол \(\angle MOB = \theta\). Касательная в точке \(M\) имеет уравнение: \(x \cos \theta + y \sin \theta = R\). Точка \(C\) - это пересечение касательной с прямой \(x = R\). \(R \cos \theta + y_C \sin \theta = R\). \(y_C \sin \theta = R (1 - \cos \theta)\). \(y_C = R \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}\). Координаты точки \(C\) - \((R, R \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta})\). Вектор \(CB\) направлен вдоль оси \(y\). Вектор \(CM\) имеет координаты \((R \cos \theta - R, R \sin \theta - R \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta})\). Угол \(\angle DCB = 60^\circ\). Это угол между вектором \(CB\) и вектором \(CD\). Вектор \(CB\) направлен вниз, если \(y_C > 0\). Вектор \(BC\) направлен вверх, если \(y_C > 0\). Пусть \(C\) находится выше \(B\). Тогда \(BC = y_C\). Угол \(\angle DCB\) - это угол между касательной \(DC\) и отрезком \(BC\). Тангенс угла наклона касательной к оси \(x\) равен \(-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\). Угол наклона касательной к оси \(x\) равен \(90^\circ + \theta\). Угол между касательной и вертикальной прямой \(BC\). Прямая \(BC\) вертикальна. Угол между касательной и вертикальной прямой \(BC\) равен \(90^\circ - (90^\circ + \theta - 90^\circ) = 90^\circ - \theta\). Или \(90^\circ - (90^\circ - \theta)\) в зависимости от расположения. Угол между касательной и прямой \(BC\) равен \(\left| \frac{\pi}{2} - \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) \right| = |-\theta| = \theta\). Или \(\left| \frac{\pi}{2} - \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) \right| = |\theta|\). Если \(\theta\) - это \(\angle MOB\). Тогда \(\angle OCB\) - это угол между \(OC\) и \(BC\). В прямоугольном треугольнике \(OBC\), \(\angle OBC = 90^\circ\). \(OB = R\). \(BC = y_C = R \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}\). \(\tan(\angle BOC) = \frac{BC}{OB} = \frac{R \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}}{R} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}\). \(\frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{2 \sin^2(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)} = \tan(\theta/2)\). Значит, \(\angle BOC = \theta/2\). Это не \(\angle MOB\). Давайте вернемся к более простому геометрическому подходу. 1. Построим рисунок. Окружность, центр \(O\). Диаметр \(AB\). Точка \(M\) на окружности. Касательная \(DC\) через \(M\). Лучи \(AD \perp AB\) и \(BC \perp AB\). Значит, \(AD \parallel BC\). \(AD\) и \(BC\) - это вертикальные прямые, касательная \(DC\) их пересекает. \(\angle DCB = 60^\circ\). 2. Рассмотрим четырехугольник \(ADCB\). Это трапеция. \(OM \perp DC\). \(OB = OM = R\). \(\angle OBC = 90^\circ\). \(\angle OMD = 90^\circ\). 3. Рассмотрим треугольник \(OBC\). Это прямоугольный треугольник с прямым углом при \(B\). \(\angle BOC\) - это центральный угол. \(\angle OCB\) - это угол в треугольнике \(OBC\). Мы знаем \(\angle DCB = 60^\circ\). \(\angle OCB\) - это часть \(\angle DCB\). Нет, это не так. \(\angle OCB\) - это угол между \(OC\) и \(BC\). 4. Рассмотрим треугольник \(OMC\). Это прямоугольный треугольник с прямым углом при \(M\). \(\angle MOC + \angle OCM = 90^\circ\). \(\angle OCM\) - это \(\angle OCB\). Значит, \(\angle MOC + \angle OCB = 90^\circ\). 5. В прямоугольном треугольнике \(OBC\), \(\angle BOC + \angle OCB = 90^\circ\). Из этого следует, что \(\angle MOC = \angle BOC\). Это означает, что \(OC\) является биссектрисой угла \(\angle MOB\). Тогда \(\angle MOB = 2 \cdot \angle MOC\). 6. Теперь найдем \(\angle MOC\). В прямоугольном треугольнике \(OBC\), \(\angle OBC = 90^\circ\). \(\angle DCB = 60^\circ\). В трапеции \(ADCB\), \(AD \parallel BC\). Угол \(\angle BCD\) - это угол между касательной \(DC\) и прямой \(BC\). Рассмотрим треугольник \(OBC\). \(OB = R\). \(OM = R\). В прямоугольном треугольнике \(OMC\), \(OC\) - гипотенуза. \(\cos(\angle MOC) = \frac{OM}{OC} = \frac{R}{OC}\). В прямоугольном треугольнике \(OBC\), \(OC\) - гипотенуза. \(\cos(\angle BOC) = \frac{OB}{OC} = \frac{R}{OC}\). Это подтверждает, что \(\angle MOC = \angle BOC\). 7. Теперь используем \(\angle DCB = 60^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(OBC\), \(\angle OBC = 90^\circ\). \(\angle OCB\) - это угол между \(OC\) и \(BC\). \(\angle DCB = 60^\circ\). Если точка \(M\) находится между \(A\) и \(B\) (в верхней полуплоскости), то \(C\) находится выше \(B\). Тогда \(\angle OCB\) - это часть угла \(\angle DCB\). Нет, \(\angle OCB\) - это угол в треугольнике \(OBC\). \(\angle DCB\) - это угол между касательной \(DC\) и прямой \(BC\). В прямоугольном треугольнике \(OBC\), \(\angle BOC + \angle OCB = 90^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(OMC\), \(\angle MOC + \angle OCM = 90^\circ\). Так как \(\angle OCM = \angle OCB\), то \(\angle MOC = \angle BOC\). 8. Рассмотрим прямые \(OM\) и \(BC\). \(OM \perp DC\). \(BC \perp AB\). Пусть \(\angle MOB = \alpha\). Тогда \(\angle MOC = \angle BOC = \alpha/2\). В прямоугольном треугольнике \(OBC\), \(\angle OCB = 90^\circ - \angle BOC = 90^\circ - \alpha/2\). По условию, \(\angle DCB = 60^\circ\). Угол \(\angle DCB\) - это угол между касательной \(DC\) и прямой \(BC\). Так как \(OM \perp DC\), то угол между \(OM\) и \(BC\) равен \(\angle DCB\). Нет, это не так. Угол между двумя прямыми равен углу между их перпендикулярами. \(OM \perp DC\). \(AB \perp BC\). Угол между \(DC\) и \(BC\) равен \(\angle DCB = 60^\circ\). Угол между \(OM\) и \(AB\) равен \(\angle MOB = \alpha\). Значит, \(\angle MOB = \angle DCB = 60^\circ\). Это свойство: угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой. Но здесь не хорда. Давайте еще раз внимательно. \(AD \parallel BC\). \(OM \perp DC\). \(OB \perp BC\). Рассмотрим четырехугольник \(OMCB\). \(\angle OMC = 90^\circ\). \(\angle OBC = 90^\circ\). Сумма углов четырехугольника \(OMCB\) равна \(360^\circ\). \(\angle MOB + \angle OBC + \angle BCM + \angle CMO = 360^\circ\). \(\angle MOB + 90^\circ + \angle BCM + 90^\circ = 360^\circ\). \(\angle MOB + \angle BCM = 180^\circ\). Мы знаем \(\angle DCB = 60^\circ\). \(\angle BCM\) - это \(\angle DCB\). Значит, \(\angle MOB + 60^\circ = 180^\circ\). \(\angle MOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Это решение кажется наиболее простым и логичным. Давайте убедимся, что \(\angle BCM\) - это именно \(\angle DCB\). Точка \(C\) лежит на касательной \(DC\). Точка \(B\) лежит на прямой \(BC\). Угол \(\angle DCB\) - это угол между отрезком \(DC\) и отрезком \(BC\). В четырехугольнике \(OMCB\), \(\angle BCM\) - это угол при вершине \(C\). Это тот же самый угол. Итак, шаги решения: 1. Определяем, что \(AD \parallel BC\), так как обе прямые перпендикулярны \(AB\). 2. Радиус \(OM\) перпендикулярен касательной \(DC\) в точке касания \(M\). Значит, \(\angle OMC = 90^\circ\). 3. Прямая \(BC\) перпендикулярна диаметру \(AB\). Так как \(OB\) лежит на \(AB\), то \(\angle OBC = 90^\circ\). 4. Рассмотрим четырехугольник \(OMCB\). Сумма его внутренних углов равна \(360^\circ\). \(\angle MOB + \angle OBC + \angle BCM + \angle CMO = 360^\circ\). 5. Подставляем известные углы: \(\angle MOB + 90^\circ + \angle BCM + 90^\circ = 360^\circ\). \(\angle MOB + \angle BCM = 360^\circ - 180^\circ\). \(\angle MOB + \angle BCM = 180^\circ\). 6. По условию, \(\angle DCB = 60^\circ\). Угол \(\angle BCM\) в четырехугольнике \(OMCB\) совпадает с углом \(\angle DCB\). Значит, \(\angle BCM = 60^\circ\). 7. Подставляем это значение: \(\angle MOB + 60^\circ = 180^\circ\). \(\angle MOB =