Задача:
Через середину радиуса шара проведено сечение, перпендикулярное этому радиусу.
Найдите площадь \(S\) этого сечения, если радиус шара равен 6.
В ответе укажите величину \(\frac{S}{\pi}\).
Решение:
1. Обозначим радиус шара как \(R\). По условию задачи, \(R = 6\).
2. Сечение шара плоскостью является кругом. Радиус этого круга обозначим как \(r\).
3. Плоскость сечения проведена через середину радиуса шара и перпендикулярна этому радиусу. Это означает, что расстояние от центра шара до плоскости сечения равно половине радиуса шара.
4. Обозначим это расстояние как \(h\). Тогда \(h = \frac{R}{2}\).
5. Подставим значение \(R\): \(h = \frac{6}{2} = 3\).
6. Радиус сечения \(r\), радиус шара \(R\) и расстояние от центра шара до плоскости сечения \(h\) связаны теоремой Пифагора:
\[R^2 = r^2 + h^2\]7. Выразим радиус сечения \(r\):
\[r^2 = R^2 - h^2\]8. Подставим известные значения \(R = 6\) и \(h = 3\):
\[r^2 = 6^2 - 3^2\] \[r^2 = 36 - 9\] \[r^2 = 27\]9. Площадь кругового сечения \(S\) вычисляется по формуле:
\[S = \pi r^2\]10. Подставим значение \(r^2 = 27\):
\[S = \pi \cdot 27\] \[S = 27\pi\]11. В задаче требуется указать величину \(\frac{S}{\pi}\).
12. Вычислим эту величину:
\[\frac{S}{\pi} = \frac{27\pi}{\pi}\] \[\frac{S}{\pi} = 27\]Ответ: 27