Решение задачи: Касательная плоскость к сфере

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы его было удобно переписать в тетрадь школьнику: Касательная плоскость к сфере Задача: Плоскость треугольника со сторонами 5, 12 и 13 касается сферы в центре описанной около треугольника окружности. Радиус сферы равен \( \sqrt{30} \). Найдите расстояние от центра сферы до вершин треугольника. Решение: 1. Определим тип треугольника. Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора: \( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \) \( 13^2 = 169 \) Так как \( 5^2 + 12^2 = 13^2 \), то треугольник является прямоугольным. 2. Найдем радиус описанной окружности. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус описанной окружности \( R_{тр} \) равен половине гипотенузы. Гипотенуза равна 13. Значит, \( R_{тр} = \frac{13}{2} = 6.5 \). 3. Обозначим данные. Пусть \( O \) - центр сферы. Пусть \( K \) - точка касания плоскости треугольника со сферой. По условию, \( K \) - это центр описанной окружности треугольника. Радиус сферы \( R_{сф} = \sqrt{30} \). Расстояние от центра сферы \( O \) до плоскости треугольника равно радиусу сферы, так как плоскость касается сферы. То есть, \( OK = R_{сф} = \sqrt{30} \). Расстояние от точки \( K \) (центра описанной окружности) до вершин треугольника равно радиусу описанной окружности \( R_{тр} = 6.5 \). 4. Найдем расстояние от центра сферы до вершин треугольника. Рассмотрим любую вершину треугольника, например, вершину \( A \). Точки \( O \), \( K \) и \( A \) образуют прямоугольный треугольник \( \triangle OKA \), где прямой угол находится при вершине \( K \), так как отрезок \( OK \) перпендикулярен плоскости треугольника. В этом треугольнике: \( OK = \sqrt{30} \) (расстояние от центра сферы до плоскости треугольника) \( KA = R_{тр} = 6.5 \) (расстояние от центра описанной окружности до вершины треугольника) Нам нужно найти расстояние \( OA \), которое является гипотенузой в \( \triangle OKA \). По теореме Пифагора: \( OA^2 = OK^2 + KA^2 \) \( OA^2 = (\sqrt{30})^2 + (6.5)^2 \) \( OA^2 = 30 + ( \frac{13}{2} )^2 \) \( OA^2 = 30 + \frac{169}{4} \) Приведем к общему знаменателю: \( OA^2 = \frac{30 \cdot 4}{4} + \frac{169}{4} \) \( OA^2 = \frac{120}{4} + \frac{169}{4} \) \( OA^2 = \frac{120 + 169}{4} \) \( OA^2 = \frac{289}{4} \) Теперь извлечем квадратный корень: \( OA = \sqrt{\frac{289}{4}} \) \( OA = \frac{\sqrt{289}}{\sqrt{4}} \) \( OA = \frac{17}{2} \) \( OA = 8.5 \) Ответ: Расстояние от центра сферы до вершин треугольника равно 8.5.