Решение задачи B34*: Изотермическое расширение углекислого газа

Задача B34* Один моль углекислого газа, занимавший при температуре \(T = 21^\circ\text{C}\) объем \(V_1 = 0,5 \text{ л}\), расширяется изотермически до объема \(V_2 = 2,0 \text{ л}\). Определить начальное давление газа, работу при расширении, изменение внутренней энергии газа и количество поглощенной теплоты. Газ считать реальным. Решение: Дано: Количество вещества \(\nu = 1 \text{ моль}\) Температура \(T = 21^\circ\text{C} = 21 + 273,15 = 294,15 \text{ К}\) Начальный объем \(V_1 = 0,5 \text{ л} = 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3\) Конечный объем \(V_2 = 2,0 \text{ л} = 2,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3\) Процесс изотермический (\(T = \text{const}\)). Газ – углекислый газ (\(\text{CO}_2\)). Газ считать реальным. Для реального газа используется уравнение Ван-дер-Ваальса: \[\left(p + \frac{\nu^2 a}{V^2}\right)(V - \nu b) = \nu RT\] где \(a\) и \(b\) – постоянные Ван-дер-Ваальса для данного газа. Для углекислого газа (\(\text{CO}_2\)): \(a = 0,364 \text{ Па}\cdot\text{м}^6/\text{моль}^2\) \(b = 4,267 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3/\text{моль}\) Универсальная газовая постоянная \(R = 8,314 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}\). 1. Определим начальное давление газа \(p_1\). Из уравнения Ван-дер-Ваальса выразим давление \(p\): \[p = \frac{\nu RT}{V - \nu b} - \frac{\nu^2 a}{V^2}\] Подставим значения для начального состояния (\(V_1\)): \[p_1 = \frac{1 \text{ моль} \cdot 8,314 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)} \cdot 294,15 \text{ К}}{0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 - 1 \text{ моль} \cdot 4,267 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3/\text{моль}} - \frac{(1 \text{ моль})^2 \cdot 0,364 \text{ Па}\cdot\text{м}^6/\text{моль}^2}{(0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3)^2}\] Вычислим знаменатель первой дроби: \(0,5 \cdot 10^{-3} - 4,267 \cdot 10^{-5} = 0,0005 - 0,00004267 = 0,00045733 \text{ м}^3\) Вычислим числитель первой дроби: \(1 \cdot 8,314 \cdot 294,15 = 2446,961 \text{ Дж}\) Первая дробь: \(\frac{2446,961}{0,00045733} \approx 5350560 \text{ Па}\) Вычислим вторую дробь: \(\frac{0,364}{(0,5 \cdot 10^{-3})^2} = \frac{0,364}{0,25 \cdot 10^{-6}} = 1,456 \cdot 10^6 \text{ Па} = 1456000 \text{ Па}\) Тогда: \[p_1 = 5350560 \text{ Па} - 1456000 \text{ Па} = 3894560 \text{ Па} \approx 3,89 \cdot 10^6 \text{ Па}\] \[p_1 \approx 3,89 \text{ МПа}\] 2. Определим работу при расширении \(A\). Для изотермического процесса реального газа работа определяется интегралом: \[A = \int_{V_1}^{V_2} p dV\] Подставим выражение для \(p\) из уравнения Ван-дер-Ваальса: \[A = \int_{V_1}^{V_2} \left(\frac{\nu RT}{V - \nu b} - \frac{\nu^2 a}{V^2}\right) dV\] Разделим интеграл на два: \[A = \nu RT \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V - \nu b} - \nu^2 a \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V^2}\] Вычислим каждый интеграл: \[\int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V - \nu b} = \left[\ln(V - \nu b)\right]_{V_1}^{V_2} = \ln(V_2 - \nu b) - \ln(V_1 - \nu b) = \ln\left(\frac{V_2 - \nu b}{V_1 - \nu b}\right)\] \[\int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V^2} = \left[-\frac{1}{V}\right]_{V_1}^{V_2} = -\frac{1}{V_2} - \left(-\frac{1}{V_1}\right) = \frac{1}{V_1} - \frac{1}{V_2}\] Подставим обратно в формулу для работы: \[A = \nu RT \ln\left(\frac{V_2 - \nu b}{V_1 - \nu b}\right) - \nu^2 a \left(\frac{1}{V_1} - \frac{1}{V_2}\right)\] Подставим числовые значения: \(\nu b = 1 \text{ моль} \cdot 4,267 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3/\text{моль} = 4,267 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3\) \(V_1 - \nu b = 0,5 \cdot 10^{-3} - 4,267 \cdot 10^{-5} = 0,00045733 \text{ м}^3\) \(V_2 - \nu b = 2,0 \cdot 10^{-3} - 4,267 \cdot 10^{-5} = 0,00195733 \text{ м}^3\) Первое слагаемое: \(\nu RT = 1 \cdot 8,314 \cdot 294,15 = 2446,961 \text{ Дж}\) \(\ln\left(\frac{0,00195733}{0,00045733}\right) = \ln(4,2798) \approx 1,4538\) \(\nu RT \ln\left(\frac{V_2 - \nu b}{V_1 - \nu b}\right) = 2446,961 \cdot 1,4538 \approx 3558,9 \text{ Дж}\) Второе слагаемое: \(\nu^2 a = (1 \text{ моль})^2 \cdot 0,364 \text{ Па}\cdot\text{м}^6/\text{моль}^2 = 0,364 \text{ Па}\cdot\text{м}^6\) \(\frac{1}{V_1} - \frac{1}{V_2} = \frac{1}{0,5 \cdot 10^{-3}} - \frac{1}{2,0 \cdot 10^{-3}} = \frac{1}{0,0005} - \frac{1}{0,002} = 2000 - 500 = 1500 \text{ м}^{-3}\) \(\nu^2 a \left(\frac{1}{V_1} - \frac{1}{V_2}\right) = 0,364 \cdot 1500 = 546 \text{ Дж}\) Тогда работа: \[A = 3558,9 \text{ Дж} - 546 \text{ Дж} = 3012,9 \text{ Дж}\] \[A \approx 3,01 \text{ кДж}\] 3. Определим изменение внутренней энергии газа \(\Delta U\). Для реального газа внутренняя энергия зависит не только от температуры, но и от объема. Изменение внутренней энергии для газа Ван-дер-Ваальса при изотермическом процессе: \[\Delta U = \int_{V_1}^{V_2} \left(T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V - p\right) dV\] Из уравнения Ван-дер-Ваальса: \[p = \frac{\nu RT}{V - \nu b} - \frac{\nu^2 a}{V^2}\] Найдем частную производную \(\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V\): \[\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \frac{\nu R}{V - \nu b}\] Теперь подставим это в выражение для \(\Delta U\): \[\Delta U = \int_{V_1}^{V_2} \left(T \frac{\nu R}{V - \nu b} - \left(\frac{\nu RT}{V - \nu b} - \frac{\nu^2 a}{V^2}\right)\right) dV\] \[\Delta U = \int_{V_1}^{V_2} \left(\frac{\nu RT}{V - \nu b} - \frac{\nu RT}{V - \nu b} + \frac{\nu^2 a}{V^2}\right) dV\] \[\Delta U = \int_{V_1}^{V_2} \frac{\nu^2 a}{V^2} dV\] \[\Delta U = \nu^2 a \left[-\frac{1}{V}\right]_{V_1}^{V_2} = \nu^2 a \left(\frac{1}{V_1} - \frac{1}{V_2}\right)\] Это выражение уже было вычислено при расчете работы: \[\Delta U = 546 \text{ Дж}\] \[\Delta U \approx 0,55 \text{ кДж}\] 4. Определим количество поглощенной теплоты \(Q\). Согласно первому началу термодинамики: \[Q = \Delta U + A\] \[Q = 546 \text{ Дж} + 3012,9 \text{ Дж} = 3558,9 \text{ Дж}\] \[Q \approx 3,56 \text{ кДж}\] Поскольку \(Q > 0\), тепло поглощается газом. Ответ: Начальное давление газа \(p_1 \approx 3,89 \text{ МПа}\). Работа при расширении \(A \approx 3,01 \text{ кДж}\). Изменение внутренней энергии газа \(\Delta U \approx 0,55 \text{ кДж}\). Количество поглощенной теплоты \(Q \approx 3,56 \text{ кДж}\). Задача B36* В сосуде вместимостью \(V = 0,3 \text{ л}\) находится углекислый газ, содержащий количество вещества \(\nu = 2 \text{ моль}\) при температуре \(T = 300 \text{ К}\). Определить давление \(p\) газа по уравнениям Менделеева-Клапейрона и Ван-дер-Ваальса. Решение: Дано: Объем сосуда \(V = 0,3 \text{ л} = 0,3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3\) Количество вещества \(\nu = 2 \text{ моль}\) Температура \(T = 300 \text{ К}\) Газ – углекислый газ (\(\text{CO}_2\)). Постоянные для углекислого газа (\(\text{CO}_2\)): \(a = 0,364 \text{ Па}\cdot\text{м}^6/\text{моль}^2\) \(b = 4,267 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3/\text{моль}\) Универсальная газовая постоянная \(R = 8,314 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}\). 1. Давление по уравнению Менделеева-Клапейрона (для идеального газа). Уравнение Менделеева-Клапейрона: \[pV = \nu RT\] Выразим давление \(p\): \[p = \frac{\nu RT}{V}\] Подставим числовые значения: \[p_{идеал} = \frac{2 \text{ моль} \cdot 8,314 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)} \cdot 300 \text{ К}}{0,3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3}\] \[p_{идеал} = \frac{4988,4 \text{ Дж}}{0,0003 \text{ м}^3}\] \[p_{идеал} = 16628000 \text{ Па} = 16,628 \text{ МПа}\] 2. Давление по уравнению Ван-дер-Ваальса (для реального газа). Уравнение Ван-дер-Ваальса: \[\left(p + \frac{\nu^2 a}{V^2}\right)(V - \nu b) = \nu RT\] Выразим давление \(p\): \[p = \frac{\nu RT}{V - \nu b} - \frac{\nu^2 a}{V^2}\] Подставим числовые значения: \(\nu b = 2 \text{ моль} \cdot 4,267 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3/\text{моль} = 8,534 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3\) \(V - \nu b = 0,3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 - 8,534 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3 = 0,0003 - 0,00008534 = 0,00021466 \text{ м}^3\) \(\nu RT = 2 \cdot 8,314 \cdot 300 = 4988,4 \text{ Дж}\) Первое слагаемое: \(\frac{\nu RT}{V - \nu b} = \frac{4988,4 \text{ Дж}}{0,00021466 \text{ м}^3} \approx 23238600 \text{ Па}\) Второе слагаемое: \(\frac{\nu^2 a}{V^2} = \frac{(2 \text{ моль})^2 \cdot 0,364 \text{ Па}\cdot\text{м}^6/\text{моль}^2}{(0,3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3)^2} = \frac{4 \cdot 0,364}{(0,0003)^2} = \frac{1,456}{9 \cdot 10^{-8}} = \frac{1,456}{0,00000009} \approx 16177777 \text{ Па}\) Тогда: \[p_{Ван-дер-Ваальс} = 23238600 \text{ Па} - 16177777 \text{ Па} = 7060823 \text{ Па} \approx 7,06 \cdot 10^6 \text{ Па}\] \[p_{Ван-дер-Ваальс} \approx 7,06 \text{ МПа}\] Сравнение результатов: Давление, рассчитанное по уравнению Ван-дер-Ваальса, значительно ниже, чем по уравнению Менделеева-Клапейрона. Это связано с тем, что при данном объеме и количестве вещества газ находится в условиях, когда взаимодействие между молекулами и собственный объем молекул становятся существенными. В частности, объем \(V = 0,3 \text{ л}\) для 2 молей \(\text{CO}_2\) является