Решение задачи В34*: Изотермическое расширение реального газа

Задача В34* Один моль углекислого газа, занимавший при температуре \(T = 21^\circ C\) объем \(V_1 = 0,5\) л, расширяется изотермически до объема \(V_2 = 2,0\) л. Определить начальное давление газа, работу при расширении, изменение внутренней энергии газа и количество поглощенной теплоты. Газ считать реальным. Решение: Дано: Количество вещества углекислого газа \( \nu = 1 \) моль Начальная температура \( T = 21^\circ C \) Начальный объем \( V_1 = 0,5 \) л Конечный объем \( V_2 = 2,0 \) л Процесс изотермический (температура постоянна) Газ считать реальным Переведем данные в систему СИ: \( T = 21^\circ C = 21 + 273,15 = 294,15 \) К \( V_1 = 0,5 \) л \( = 0,5 \cdot 10^{-3} \) м\(^3\) \( V_2 = 2,0 \) л \( = 2,0 \cdot 10^{-3} \) м\(^3\) Для реального газа используется уравнение Ван-дер-Ваальса: \[ \left( P + \frac{a\nu^2}{V^2} \right) (V - \nu b) = \nu R T \] где \(a\) и \(b\) - постоянные Ван-дер-Ваальса для углекислого газа. Для \(CO_2\): \( a = 0,364 \) Па \(\cdot\) м\(^6\) \(\cdot\) моль\(^{-2}\) \( b = 4,27 \cdot 10^{-5} \) м\(^3\) \(\cdot\) моль\(^{-1}\) Универсальная газовая постоянная \( R = 8,314 \) Дж \(\cdot\) моль\(^{-1}\) \(\cdot\) К\(^{-1}\) 1. Определим начальное давление газа \(P_1\). Используем уравнение Ван-дер-Ваальса для начального состояния: \[ \left( P_1 + \frac{a\nu^2}{V_1^2} \right) (V_1 - \nu b) = \nu R T \] Выразим \(P_1\): \[ P_1 = \frac{\nu R T}{V_1 - \nu b} - \frac{a\nu^2}{V_1^2} \] Подставим значения: \[ P_1 = \frac{1 \cdot 8,314 \cdot 294,15}{0,5 \cdot 10^{-3} - 1 \cdot 4,27 \cdot 10^{-5}} - \frac{0,364 \cdot 1^2}{(0,5 \cdot 10^{-3})^2} \] \[ P_1 = \frac{2445,961}{0,0005 - 0,0000427} - \frac{0,364}{0,00000025} \] \[ P_1 = \frac{2445,961}{0,0004573} - 1456000 \] \[ P_1 \approx 5348591,73 - 1456000 \] \[ P_1 \approx 3892591,73 \] Па \[ P_1 \approx 3,89 \cdot 10^6 \] Па \( \approx 3,89 \) МПа 2. Определим работу при расширении \(A\). Для изотермического процесса реального газа работа определяется интегралом: \[ A = \int_{V_1}^{V_2} P dV \] Из уравнения Ван-дер-Ваальса выразим \(P\): \[ P = \frac{\nu R T}{V - \nu b} - \frac{a\nu^2}{V^2} \] Тогда работа: \[ A = \int_{V_1}^{V_2} \left( \frac{\nu R T}{V - \nu b} - \frac{a\nu^2}{V^2} \right) dV \] \[ A = \nu R T \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V - \nu b} - a\nu^2 \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V^2} \] \[ A = \nu R T \left[ \ln(V - \nu b) \right]_{V_1}^{V_2} - a\nu^2 \left[ -\frac{1}{V} \right]_{V_1}^{V_2} \] \[ A = \nu R T \ln \left( \frac{V_2 - \nu b}{V_1 - \nu b} \right) + a\nu^2 \left( \frac{1}{V_2} - \frac{1}{V_1} \right) \] Подставим значения: \( \nu R T = 1 \cdot 8,314 \cdot 294,15 = 2445,961 \) Дж \( \nu b = 1 \cdot 4,27 \cdot 10^{-5} = 4,27 \cdot 10^{-5} \) м\(^3\) \( a\nu^2 = 0,364 \cdot 1^2 = 0,364 \) Па \(\cdot\) м\(^6\) \[ A = 2445,961 \cdot \ln \left( \frac{2,0 \cdot 10^{-3} - 4,27 \cdot 10^{-5}}{0,5 \cdot 10^{-3} - 4,27 \cdot 10^{-5}} \right) + 0,364 \left( \frac{1}{2,0 \cdot 10^{-3}} - \frac{1}{0,5 \cdot 10^{-3}} \right) \] \[ A = 2445,961 \cdot \ln \left( \frac{0,0019573}{0,0004573} \right) + 0,364 \left( 500 - 2000 \right) \] \[ A = 2445,961 \cdot \ln (4,2800) + 0,364 \cdot (-1500) \] \[ A = 2445,961 \cdot 1,4539 - 546 \] \[ A \approx 3555,9 - 546 \] \[ A \approx 3009,9 \] Дж 3. Определим изменение внутренней энергии газа \( \Delta U \). Для реального газа изменение внутренней энергии при изотермическом процессе определяется формулой: \[ \Delta U = \int_{V_1}^{V_2} \left( T \left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V - P \right) dV \] Из уравнения Ван-дер-Ваальса: \[ P = \frac{\nu R T}{V - \nu b} - \frac{a\nu^2}{V^2} \] Найдем частную производную \( \left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V \): \[ \left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V = \frac{\nu R}{V - \nu b} \] Тогда: \[ T \left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V - P = T \frac{\nu R}{V - \nu b} - \left( \frac{\nu R T}{V - \nu b} - \frac{a\nu^2}{V^2} \right) \] \[ T \left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V - P = \frac{\nu R T}{V - \nu b} - \frac{\nu R T}{V - \nu b} + \frac{a\nu^2}{V^2} \] \[ T \left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V - P = \frac{a\nu^2}{V^2} \] Теперь проинтегрируем: \[ \Delta U = \int_{V_1}^{V_2} \frac{a\nu^2}{V^2} dV \] \[ \Delta U = a\nu^2 \left[ -\frac{1}{V} \right]_{V_1}^{V_2} \] \[ \Delta U = a\nu^2 \left( \frac{1}{V_1} - \frac{1}{V_2} \right) \] Подставим значения: \[ \Delta U = 0,364 \cdot 1^2 \left( \frac{1}{0,5 \cdot 10^{-3}} - \frac{1}{2,0 \cdot 10^{-3}} \right) \] \[ \Delta U = 0,364 \left( 2000 - 500 \right) \] \[ \Delta U = 0,364 \cdot 1500 \] \[ \Delta U = 546 \] Дж 4. Определим количество поглощенной теплоты \(Q\). Согласно первому началу термодинамики: \[ Q = \Delta U + A \] Подставим найденные значения \( \Delta U \) и \( A \): \[ Q = 546 + 3009,9 \] \[ Q = 3555,9 \] Дж Ответы: Начальное давление газа: \( P_1 \approx 3,89 \cdot 10^6 \) Па Работа при расширении: \( A \approx 3010 \) Дж Изменение внутренней энергии газа: \( \Delta U = 546 \) Дж Количество поглощенной теплоты: \( Q \approx 3556 \) Дж