Область определения линейной функции: Решение задачи

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. РАБОЧИЙ ЛИСТ «ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ» Задание 1. Какова область определения функции, заданной формулой: а) \(y = \frac{5}{x^2 - 9}\) Решение: Область определения функции — это все значения \(x\), при которых функция имеет смысл. В данном случае, знаменатель дроби не может быть равен нулю. Значит, \(x^2 - 9 \neq 0\). Разложим на множители: \((x - 3)(x + 3) \neq 0\). Следовательно, \(x \neq 3\) и \(x \neq -3\). Область определения: \(x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)\). б) \(y = \frac{6}{x^2 + 25}\) Решение: Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Значит, \(x^2 + 25 \neq 0\). Уравнение \(x^2 + 25 = 0\) не имеет действительных корней, так как \(x^2\) всегда больше или равно 0, а значит, \(x^2 + 25\) всегда больше 0. Следовательно, знаменатель никогда не равен нулю. Область определения: \(x \in (-\infty; +\infty)\). в) \(y = \frac{7}{|x| - 1}\) Решение: Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Значит, \(|x| - 1 \neq 0\). Следовательно, \(|x| \neq 1\). Это означает, что \(x \neq 1\) и \(x \neq -1\). Область определения: \(x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)\). Задание 2. В таблице указаны значения аргумента и соответствующие значения функции: | \(x\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 3 | 5 | |---|---|---|---|---|---|---| | \(y\) | 1 | 0 | -1 | 0 | 2 | 4 | Из данных формул выберите ту, которая задаёт эту функцию. 1. \(y = 3x + 7\) 2. \(y = x^2 - 1\) 3. \(y = |x| - 1\) 4. \(y = x^3 - 2\) Решение: Проверим каждую формулу, подставляя значения из таблицы. 1. Проверим \(y = 3x + 7\): При \(x = -2\), \(y = 3(-2) + 7 = -6 + 7 = 1\). (Совпадает) При \(x = -1\), \(y = 3(-1) + 7 = -3 + 7 = 4\). (Не совпадает, в таблице \(y = 0\)) Эта формула не подходит. 2. Проверим \(y = x^2 - 1\): При \(x = -2\), \(y = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3\). (Не совпадает, в таблице \(y = 1\)) Эта формула не подходит. 3. Проверим \(y = |x| - 1\): При \(x = -2\), \(y = |-2| - 1 = 2 - 1 = 1\). (Совпадает) При \(x = -1\), \(y = |-1| - 1 = 1 - 1 = 0\). (Совпадает) При \(x = 0\), \(y = |0| - 1 = 0 - 1 = -1\). (Совпадает) При \(x = 1\), \(y = |1| - 1 = 1 - 1 = 0\). (Совпадает) При \(x = 3\), \(y = |3| - 1 = 3 - 1 = 2\). (Совпадает) При \(x = 5\), \(y = |5| - 1 = 5 - 1 = 4\). (Совпадает) Все значения совпадают. Эта формула подходит. 4. Проверим \(y = x^3 - 2\): При \(x = -2\), \(y = (-2)^3 - 2 = -8 - 2 = -10\). (Не совпадает, в таблице \(y = 1\)) Эта формула не подходит. Ответ: Формула, которая задаёт эту функцию, — 3. \(y = |x| - 1\). Задание 3. По графику функции, изображённому на рисунке, найдите: а) значение функции при \(x = 6\); б) значения аргумента, при которых \(y = 3\). Решение: а) Чтобы найти значение функции при \(x = 6\), нужно найти точку на графике, у которой координата по оси \(x\) равна 6. Затем посмотреть, какая у этой точки координата по оси \(y\). По графику видно, что при \(x = 6\), значение \(y\) равно 2. Ответ: При \(x = 6\), \(y = 2\). б) Чтобы найти значения аргумента, при которых \(y = 3\), нужно найти точки на графике, у которых координата по оси \(y\) равна 3. Затем посмотреть, какие у этих точек координаты по оси \(x\). По графику видно, что \(y = 3\) при \(x = 1\) и при \(x = 7\). Ответ: \(y = 3\) при \(x = 1\) и \(x = 7\). Задание 4. Дан график движения группы туристов, отправившихся с турбазы в город. Сначала туристы шли по просёлочной дороге до остановки автобуса, а оставшуюся часть пути проехали на автобусе. Пользуясь графиком, ответьте на вопросы: а) сколько времени туристы шли по просёлочной дороге; б) сколько времени туристы ждали автобус; в) с какой скоростью они шли по просёлочной дороге; по шоссе? Решение: Рассмотрим график, где по горизонтальной оси отложено время \(t\) в часах, а по вертикальной оси — расстояние \(s\) в км. а) Сколько времени туристы шли по просёлочной дороге? На графике участок, где туристы идут по просёлочной дороге, это первый наклонный отрезок, который начинается от \(t = 0\) и заканчивается в точке, где начинается горизонтальный участок (ожидание автобуса). Этот участок заканчивается при \(t = 2\) часа. Значит, туристы шли по просёлочной дороге 2 часа. Ответ: 2 часа. б) Сколько времени туристы ждали автобус? Участок, где туристы ждали автобус, это горизонтальный отрезок на графике, так как расстояние не менялось, а время шло. Этот участок начинается при \(t = 2\) часа и заканчивается при \(t = 3\) часа. Время ожидания: \(3 - 2 = 1\) час. Ответ: 1 час. в) С какой скоростью они шли по просёлочной дороге; по шоссе? Скорость определяется как отношение пройденного расстояния ко времени: \(v = \frac{s}{t}\). Скорость по просёлочной дороге: Начало движения: \(t = 0\), \(s = 0\). Конец движения по просёлочной дороге: \(t = 2\) часа, \(s = 10\) км. Пройденное расстояние: \(10 - 0 = 10\) км. Затраченное время: \(2 - 0 = 2\) часа. Скорость: \(v_{просёлочная} = \frac{10 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 5 \text{ км/ч}\). Скорость по шоссе (на автобусе): Начало движения на автобусе: \(t = 3\) часа, \(s = 10\) км (после ожидания). Конец движения на автобусе (конец графика): \(t = 5\) часов, \(s = 80\) км. Пройденное расстояние: \(80 - 10 = 70\) км. Затраченное время: \(5 - 3 = 2\) часа. Скорость: \(v_{шоссе} = \frac{70 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 35 \text{ км/ч}\). Ответ: По просёлочной дороге туристы шли со скоростью 5 км/ч, по шоссе (на автобусе) — со скоростью 35 км/ч.