Решение задачи B40*: Расширение водорода в пустоту

Задача В40* Два моля водорода расширяются в пустоту, в результате чего объем газа увеличивается от значения \(V_1 = 2,0\) л до \(V_2 = 10,0\) л. Какое количество теплоты \(Q\) нужно сообщить газу, чтобы температура его не изменилась? Газ считать реальным. Решение: Дано: Количество вещества водорода \( \nu = 2 \) моль Начальный объем \( V_1 = 2,0 \) л Конечный объем \( V_2 = 10,0 \) л Расширение происходит в пустоту. Температура газа не изменяется (изотермический процесс). Газ считать реальным. Переведем данные в систему СИ: \( V_1 = 2,0 \) л \( = 2,0 \cdot 10^{-3} \) м\(^3\) \( V_2 = 10,0 \) л \( = 10,0 \cdot 10^{-3} \) м\(^3\) Для реального газа (водорода) используем постоянные Ван-дер-Ваальса: Для \(H_2\): \( a = 0,0247 \) Па \(\cdot\) м\(^6\) \(\cdot\) моль\(^{-2}\) \( b = 2,66 \cdot 10^{-5} \) м\(^3\) \(\cdot\) моль\(^{-1}\) Процесс расширения в пустоту означает, что внешняя работа не совершается, то есть \( A_{внешняя} = 0 \). Однако, в данном случае, нас просят найти количество теплоты, которое нужно сообщить газу, чтобы его температура не изменилась. Это означает, что процесс является изотермическим. Согласно первому началу термодинамики: \[ Q = \Delta U + A \] где \(Q\) - количество теплоты, \( \Delta U \) - изменение внутренней энергии, \(A\) - работа, совершаемая газом. 1. Определим работу, совершаемую газом \(A\). Расширение в пустоту означает, что газ не совершает работу против внешних сил. Однако, если мы хотим, чтобы температура оставалась постоянной, это не означает, что работа газа равна нулю. Работа газа при изотермическом расширении реального газа определяется формулой: \[ A = \nu R T \ln \left( \frac{V_2 - \nu b}{V_1 - \nu b} \right) + a\nu^2 \left( \frac{1}{V_2} - \frac{1}{V_1} \right) \] Но в условии задачи не дана температура \(T\). Это указывает на то, что мы должны использовать тот факт, что расширение происходит в пустоту. При расширении в пустоту, газ не совершает работу против внешних сил, то есть \(A = 0\). Однако, если температура должна оставаться постоянной, это означает, что процесс изотермический. Если бы газ был идеальным, то при изотермическом расширении в пустоту \( \Delta U = 0 \) и \( A = 0 \), следовательно \( Q = 0 \). Но газ реальный. 2. Определим изменение внутренней энергии газа \( \Delta U \). Для реального газа изменение внутренней энергии при изотермическом процессе определяется формулой: \[ \Delta U = a\nu^2 \left( \frac{1}{V_1} - \frac{1}{V_2} \right) \] Подставим значения: \( \nu = 2 \) моль \( a = 0,0247 \) Па \(\cdot\) м\(^6\) \(\cdot\) моль\(^{-2}\) \( V_1 = 2,0 \cdot 10^{-3} \) м\(^3\) \( V_2 = 10,0 \cdot 10^{-3} \) м\(^3\) \[ \Delta U = 0,0247 \cdot 2^2 \left( \frac{1}{2,0 \cdot 10^{-3}} - \frac{1}{10,0 \cdot 10^{-3}} \right) \] \[ \Delta U = 0,0247 \cdot 4 \left( 500 - 100 \right) \] \[ \Delta U = 0,0988 \cdot 400 \] \[ \Delta U = 39,52 \] Дж 3. Определим количество поглощенной теплоты \(Q\). В условии сказано, что газ расширяется в пустоту. Это означает, что внешнее давление равно нулю, и работа, совершаемая газом против внешних сил, равна нулю. То есть, \(A = 0\). Тогда из первого начала термодинамики: \[ Q = \Delta U + A \] \[ Q = \Delta U + 0 \] \[ Q = \Delta U \] \[ Q = 39,52 \] Дж Таким образом, чтобы температура газа не изменилась при расширении в пустоту, необходимо сообщить газу количество теплоты, равное изменению его внутренней энергии. Ответ: Количество теплоты, которое нужно сообщить газу: \( Q \approx 39,52 \) Дж