Задача 3
По данным на рисунке 2 найдите длину отрезка \(k\).
Решение:
На рисунке 2 изображены два подобных прямоугольных треугольника. Большой треугольник имеет катеты 20 и 15, а гипотенузу 25. Малый треугольник, образованный отрезком \(k\), также является прямоугольным.
Отрезок \(k\) является высотой, опущенной на гипотенузу большого треугольника, но это не совсем так. На рисунке видно, что отрезок \(k\) параллелен одному из катетов большого треугольника (катету длиной 20), так как оба они перпендикулярны основанию.
Рассмотрим большой прямоугольный треугольник. Его катеты равны 15 и 20, гипотенуза равна 25.
Отрезок \(k\) является катетом меньшего прямоугольного треугольника, который подобен большому треугольнику. Обозначим вершины большого треугольника как \(A, B, C\), где \(C\) - вершина прямого угла, \(AC = 20\), \(BC = 15\), \(AB = 25\). Отрезок \(k\) является катетом меньшего треугольника, который отсекается от большого треугольника линией, параллельной катету \(AC\). Пусть эта линия пересекает гипотенузу \(AB\) в точке \(D\) и катет \(BC\) в точке \(E\). Тогда \(DE = k\). Треугольник \(BDE\) подобен треугольнику \(BAC\).
Из рисунка видно, что отрезок \(k\) является катетом меньшего прямоугольного треугольника, который имеет гипотенузу 15. Этот меньший треугольник подобен большому треугольнику. Соотношение сторон в подобных треугольниках одинаково.
Для большого треугольника: катеты 15 и 20, гипотенуза 25.
Для меньшего треугольника: гипотенуза 15. Пусть катеты будут \(x\) и \(k\).
Составим пропорцию для соответствующих сторон:
\[ \frac{\text{гипотенуза малого}}{\text{гипотенуза большого}} = \frac{\text{катет } k \text{ малого}}{\text{катет } 20 \text{ большого}} \] \[ \frac{15}{25} = \frac{k}{20} \]
Теперь решим это уравнение относительно \(k\):
\[ k = \frac{15 \cdot 20}{25} \]
\[ k = \frac{300}{25} \]
\[ k = 12 \]
Таким образом, длина отрезка \(k\) равна 12.
Ответ: г) 12.
Задача 4
В трапеции \(ABCD\) (рис. 3) \(BC = 2\) см, \(BD = AD = 7\) см. Найдите длину отрезка \(BO\).
Решение:
Дана трапеция \(ABCD\), где \(BC\) параллельно \(AD\). Известно, что \(BC = 2\) см, \(AD = 7\) см. Также дано, что \(BD = 7\) см. Диагонали трапеции пересекаются в точке \(O\).
Рассмотрим треугольники \(\triangle BOC\) и \(\triangle DOA\).
Поскольку \(BC \parallel AD\), то:
- Углы \(\angle CBO\) и \(\angle ADO\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(BD\).
- Углы \(\angle BCO\) и \(\angle DAO\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(AC\).
- Углы \(\angle BOC\) и \(\angle DOA\) равны как вертикальные.
Следовательно, треугольники \(\triangle BOC\) и \(\triangle DOA\) подобны по трем углам.
Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон равно:
\[ \frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} = \frac{BC}{AD} \]
Подставим известные значения:
\[ \frac{BO}{DO} = \frac{2}{7} \]
Мы знаем, что \(BD = BO + DO\). Также дано, что \(BD = 7\) см.
Из отношения \(\frac{BO}{DO} = \frac{2}{7}\) выразим \(DO\) через \(BO\):
\[ DO = \frac{7}{2} BO \]
Теперь подставим это выражение в уравнение для \(BD\):
\[ BO + DO = BD \]
\[ BO + \frac{7}{2} BO = 7 \]
Приведем к общему знаменателю:
\[ \frac{2}{2} BO + \frac{7}{2} BO = 7 \]
\[ \frac{2 BO + 7 BO}{2} = 7 \]
\[ \frac{9 BO}{2} = 7 \]
Теперь найдем \(BO\):
\[ 9 BO = 7 \cdot 2 \]
\[ 9 BO = 14 \]
\[ BO = \frac{14}{9} \]
Выделим целую часть:
\[ BO = 1 \frac{5}{9} \]
Длина отрезка \(BO\) равна \(1 \frac{5}{9}\) см.
Ответ: б) \(1 \frac{5}{9}\) см.
Задача 5
На рисунке 4 \(\angle FGB = \angle ACB\), \(FB = 6\) см, \(AF = 8\) см, \(GC = 12\) см, \(AC = 21\) см. Найдите периметр треугольника \(FBG\).
Решение:
Даны два треугольника: \(\triangle FBG\) и \(\triangle ABC\).
Известно, что:
- \(\angle FGB = \angle ACB\) (дано)
- \(\angle B\) - общий угол для обоих треугольников (\(\angle FBG = \angle ABC\))
Поскольку два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то треугольники \(\triangle FBG\) и \(\triangle ABC\) подобны по двум углам.
Запишем отношение соответствующих сторон:
\[ \frac{FB}{AB} = \frac{BG}{BC} = \frac{FG}{AC} \]
Найдем длины сторон \(AB\) и \(BC\):
- \(AB = AF + FB = 8 + 6 = 14\) см.
- \(BC = BG + GC\). Мы не знаем \(BG\), но можем найти его из пропорции.
Подставим известные значения в пропорцию:
\[ \frac{6}{14} = \frac{BG}{BC} = \frac{FG}{21} \]
Упростим дробь \(\frac{6}{14}\):
\[ \frac{6}{14} = \frac{3}{7} \]
Теперь у нас есть:
\[ \frac{3}{7} = \frac{BG}{BC} = \frac{FG}{21} \]
Найдем \(FG\):
\[ \frac{3}{7} = \frac{FG}{21} \]
\[ FG = \frac{3 \cdot 21}{7} \]
\[ FG = 3 \cdot 3 \]
\[ FG = 9 \]
Теперь найдем \(BG\). Мы знаем, что \(BC = BG + GC\), то есть \(BC = BG + 12\).
Подставим это в пропорцию:
\[ \frac{3}{7} = \frac{BG}{BG + 12} \]
Перемножим крест-накрест:
\[ 3 \cdot (BG + 12) = 7 \cdot BG \]
\[ 3 BG + 36 = 7 BG \]
Вычтем \(3 BG\) из обеих частей:
\[ 36 = 7 BG - 3 BG \]
\[ 36 = 4 BG \]
\[ BG = \frac{36}{4} \]
\[ BG = 9 \]
Теперь у нас есть все стороны треугольника \(FBG\):
- \(FB = 6\) см (дано)
- \(FG = 9\) см (найдено)
- \(BG = 9\) см (найдено)
Найдем периметр треугольника \(FBG\):
\[ P_{FBG} = FB + BG + FG \]
\[ P_{FBG} = 6 + 9 + 9 \]
\[ P_{FBG} = 24 \]
Периметр треугольника \(FBG\) равен 24 см.
Ответ: а) 24 см.