Прочностные характеристики горных пород: Решение задачи

Вот ответы на ваши вопросы, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику.
39. Перечислите основные прочностные характеристики горных пород.
Основные прочностные характеристики горных пород: * Предел прочности на сжатие. * Предел прочности на растяжение. * Предел прочности на сдвиг (срез). * Модуль упругости (модуль Юнга). * Коэффициент Пуассона. * Угол внутреннего трения. * Сцепление.
40. Что больше предел прочности на сжатие или на растяжение? Почему?
Предел прочности на сжатие у горных пород значительно больше, чем предел прочности на растяжение.
Почему: Горные породы, как и большинство хрупких материалов, лучше сопротивляются сжимающим нагрузкам, чем растягивающим. Это связано с их внутренней структурой, наличием микротрещин и неоднородностей. При сжатии эти дефекты склонны к закрытию, что увеличивает сопротивление материала. При растяжении же эти дефекты раскрываются и концентрируют напряжения, что приводит к быстрому разрушению.
41. Найдите предел прочности породы на сжатие при силе 2 кН, приложенной на площадь 0,25 м².
Дано: Сила \(F = 2 \text{ кН} = 2000 \text{ Н}\) Площадь \(S = 0,25 \text{ м}^2\)
Найти: Предел прочности на сжатие \(\sigma_{\text{сж}}\)
Решение: Предел прочности на сжатие (или напряжение сжатия) определяется как отношение приложенной силы к площади, на которую эта сила действует.
Формула: \[\sigma_{\text{сж}} = \frac{F}{S}\]
Подставляем значения: \[\sigma_{\text{сж}} = \frac{2000 \text{ Н}}{0,25 \text{ м}^2}\] \[\sigma_{\text{сж}} = 8000 \text{ Па}\]
Переведем в более удобные единицы, например, в килопаскали (кПа) или мегапаскали (МПа): \[1 \text{ кПа} = 1000 \text{ Па}\] \[\sigma_{\text{сж}} = 8 \text{ кПа}\]
\[1 \text{ МПа} = 1000000 \text{ Па}\] \[\sigma_{\text{сж}} = 0,008 \text{ МПа}\]
Ответ: Предел прочности породы на сжатие составляет 8000 Па (или 8 кПа, или 0,008 МПа).
42. Сформулируйте условие прочности.
Условие прочности гласит, что материал считается прочным, если максимальные напряжения, возникающие в нем под действием внешних нагрузок, не превышают его предела прочности.
Математически это можно записать так: \[\sigma_{\text{max}} \le \sigma_{\text{пр}}\] где: \(\sigma_{\text{max}}\) – максимальное напряжение, возникающее в материале. \(\sigma_{\text{пр}}\) – предел прочности материала (например, предел текучести или предел прочности на разрыв/сжатие).
43. Как определить значение касательных напряжений, при которых происходит разрушение горной породы, если нормальное напряжение при этом составило 15 МПа?
Для определения значения касательных напряжений, при которых происходит разрушение горной породы, необходимо использовать критерий прочности Кулона-Мора. Этот критерий учитывает как нормальные, так и касательные напряжения, а также внутренние свойства породы – сцепление и угол внутреннего трения.
Формула критерия прочности Кулона-Мора для касательных напряжений \(\tau\), при которых происходит разрушение: \[\tau = C + \sigma \cdot \text{tg}(\varphi)\] где: \(\tau\) – касательное напряжение при разрушении. \(C\) – сцепление породы (когезия). \(\sigma\) – нормальное напряжение. \(\varphi\) – угол внутреннего трения породы. \(\text{tg}(\varphi)\) – коэффициент внутреннего трения.
В данном вопросе дано только нормальное напряжение (\(\sigma = 15 \text{ МПа}\)). Для точного расчета касательного напряжения \(\tau\) необходимо знать значения сцепления \(C\) и угла внутреннего трения \(\varphi\) для данной горной породы. Без этих данных точное числовое значение \(\tau\) определить невозможно.
44. Раскройте связь касательных напряжений с внутренним трением, возникающим при разрыве связей в разрушаемом материале.
Связь касательных напряжений с внутренним трением при разрушении материала описывается критерием прочности Кулона-Мора.
При разрушении материала (например, горной породы) под действием касательных напряжений происходит сдвиг одной части материала относительно другой. Этому сдвигу сопротивляются две основные силы: 1. Сцепление (когезия): Это силы притяжения между частицами материала, которые существуют даже при отсутствии нормального давления. Они представляют собой "внутреннюю прочность" материала на сдвиг. 2. Внутреннее трение: Это сопротивление сдвигу, которое возникает из-за взаимодействия между частицами материала под действием нормального (перпендикулярного плоскости сдвига) напряжения. Чем больше нормальное напряжение, тем сильнее частицы прижимаются друг к другу, и тем больше сила трения, препятствующая их сдвигу.
Математически это выражается формулой: \[\tau = C + \sigma \cdot \text{tg}(\varphi)\] где: * \(\tau\) – касательное напряжение, необходимое для разрушения (сдвига). * \(C\) – сцепление (когезия) материала. Это часть касательного напряжения, которая не зависит от нормального напряжения. * \(\sigma \cdot \text{tg}(\varphi)\) – составляющая касательного напряжения, обусловленная внутренним трением. * \(\sigma\) – нормальное напряжение, действующее на плоскость сдвига. * \(\text{tg}(\varphi)\) – коэффициент внутреннего трения, который является тангенсом угла внутреннего трения \(\varphi\). Этот коэффициент показывает, насколько сильно увеличивается сопротивление сдвигу при увеличении нормального напряжения.
Таким образом, касательное напряжение, при котором происходит разрушение, складывается из двух частей: постоянной части, обусловленной сцеплением, и переменной части, зависящей от нормального напряжения и внутреннего трения. Внутреннее трение играет ключевую роль в сопротивлении сдвигу, особенно при высоких нормальных напряжениях, так как оно увеличивает "сцепление" между частицами за счет их прижатия друг к другу.
45. Как определить коэффициент трения?
Коэффициент внутреннего трения в контексте прочности горных пород определяется как тангенс угла внутреннего трения \(\varphi\).
Формула: \[k = \text{tg}(\varphi)\] где: \(k\) – коэффициент внутреннего трения. \(\varphi\) – угол внутреннего трения.
Угол внутреннего трения \(\varphi\) является одной из основных прочностных характеристик материала и определяется экспериментально в лабораторных условиях, например, с помощью испытаний на одноосный или трехосный сдвиг. На графике критерия Кулона-Мора (паспорте прочности) угол \(\varphi\) – это угол наклона линии прочности (касательной к окружностям Мора) к оси нормальных напряжений (\(\sigma\)).
46. Что такое угол внутреннего трения горной породы?
Угол внутреннего трения горной породы (\(\varphi\)) – это одна из фундаментальных прочностных характеристик, которая отражает способность породы сопротивляться сдвигу под действием нормального (сжимающего) напряжения.
Простыми словами: Представьте, что вы пытаетесь сдвинуть один блок породы относительно другого. Если вы просто толкаете его вбок, это будет сопротивление сдвигу, связанное со сцеплением. Но если вы при этом еще и сильно давите на верхний блок (создаете нормальное напряжение), то сдвинуть его станет гораздо труднее из-за трения между поверхностями. Угол внутреннего трения как раз и показывает, насколько сильно увеличивается это сопротивление сдвигу при увеличении нормального давления.
На графике критерия Кулона-Мора (паспорте прочности) угол внутреннего трения \(\varphi\) – это угол наклона линии прочности (касательной к окружностям Мора) к оси нормальных напряжений (\(\sigma\)). Чем больше этот угол, тем сильнее порода сопротивляется сдвигу при увеличении нормального давления.
47. Расшифруйте все параметры графической интерпретации критерия прочности Кулона, приведенной на рисунке.
На рисунке представлена графическая интерпретация критерия прочности Кулона-Мора, известная как "паспорт прочности" или "окружности Мора". Расшифруем все обозначения:
Оси координат: * Ось \(\sigma\) (горизонтальная): Ось нормальных напряжений. На ней откладываются значения сжимающих напряжений. Положительное направление обычно соответствует сжатию. * Ось \(\tau\) (вертикальная): Ось касательных напряжений. На ней откладываются значения сдвигающих напряжений.
Линия прочности (касательная AP): * Линия AP: Это линия прочности Кулона-Мора. Она является огибающей для всех возможных окружностей Мора, которые соответствуют состоянию разрушения материала. Точки на этой линии представляют собой комбинации нормальных и касательных напряжений, при которых происходит разрушение породы. * Точка A: Точка пересечения линии прочности с осью \(\tau\). Расстояние от начала координат до точки A по оси \(\tau\) равно сцеплению (когезии) породы. * \(\tau_0\): Обозначает сцепление (когезию) породы. Это касательное напряжение, которое порода может выдержать при отсутствии нормального напряжения (\(\sigma = 0\)). * \(\varphi\): Угол внутреннего трения. Это угол наклона линии прочности AP к оси нормальных напряжений \(\sigma\). Он характеризует сопротивление породы сдвигу, зависящее от нормального давления.
Окружность Мора: * Окружность Мора: Представляет собой графическое отображение напряженного состояния в точке материала. Каждая окружность соответствует определенному состоянию напряжений, при котором действуют главные напряжения \(\sigma_1\) и \(\sigma_2\). * \(\sigma_1\): Меньшее главное нормальное напряжение (минимальное сжимающее напряжение). * \(\sigma_2\): Большее главное нормальное напряжение (максимальное сжимающее напряжение). * Центр окружности Мора: Находится на оси \(\sigma\) в точке \((\sigma_1 + \sigma_2)/2\). * Радиус окружности Мора: Равен \((\sigma_2 - \sigma_1)/2\), что соответствует максимальному касательному напряжению в данном напряженном состоянии. * Точка P: Точка касания окружности Мора с линией прочности. Эта точка соответствует состоянию разрушения материала. Координаты точки P – это нормальное напряжение \(\sigma_p\) и касательное напряжение \(\tau_p\), при которых происходит разрушение. * \(\sigma_p\): Нормальное напряжение в плоскости разрушения. * \(\tau_p\): Касательное напряжение в плоскости разрушения. * \(\tau_{\text{max}}\): Максимальное касательное напряжение для данного напряженного состояния (радиус окружности Мора). Оно достигается в плоскостях, расположенных под углом 45 градусов к главным напряжениям.
48. Что означает угол наклона касательной AP к оси напряжений на паспорте прочности горных пород?
Угол наклона касательной AP (линии прочности) к оси нормальных напряжений (\(\sigma\)) на паспорте прочности горных пород означает угол внутреннего трения породы, обозначаемый как \(\varphi\).
Этот угол является одной из ключевых прочностных характеристик материала и показывает, насколько сильно сопротивление породы сдвигу увеличивается с ростом нормального (сжимающего) напряжения. Чем больше угол \(\varphi\), тем более "фрикционным" является материал, то есть тем сильнее его прочность на сдвиг зависит от нормального давления.
Математически тангенс этого угла (\(\text{tg}(\varphi)\)) является коэффициентом внутреннего трения.