Решение задачи А28*: Определение угла отклонения стержня

Задача А28* Однородный тонкий стержень длины \(l = 1,5\) м подвешен на горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. На какой угол \(\theta\) необходимо отклонить стержень, чтобы его нижний конец при прохождении положения равновесия имел скорость \(V = 7\) м/с? Решение: 1. Запишем данные, которые нам известны из условия задачи: Длина стержня: \(l = 1,5\) м Скорость нижнего конца стержня в положении равновесия: \(V = 7\) м/с Ускорение свободного падения: \(g \approx 9,8\) м/с\(^2\) (стандартное значение, если не указано иное) 2. Определим, какие физические принципы мы будем использовать. В данной задаче происходит превращение потенциальной энергии в кинетическую. Поэтому мы можем применить закон сохранения энергии. 3. Рассмотрим начальное положение стержня. Стержень отклонен на угол \(\theta\) от вертикали. Центр масс однородного стержня находится посередине, то есть на расстоянии \(l/2\) от оси вращения. Высота, на которую поднят центр масс стержня относительно положения равновесия, равна: \[h = \frac{l}{2} - \frac{l}{2} \cos \theta = \frac{l}{2} (1 - \cos \theta)\] Потенциальная энергия стержня в начальном положении: \[E_п = mgh = mg \frac{l}{2} (1 - \cos \theta)\] где \(m\) - масса стержня. 4. Рассмотрим конечное положение стержня. Стержень проходит положение равновесия (вертикальное положение). В этот момент его потенциальная энергия минимальна (мы можем принять ее за ноль, если отсчитывать от этого уровня). Вся потенциальная энергия перешла в кинетическую энергию вращательного движения. Кинетическая энергия стержня в положении равновесия: \[E_к = \frac{1}{2} I \omega^2\] где \(I\) - момент инерции стержня относительно оси вращения, а \(\omega\) - угловая скорость стержня. 5. Момент инерции однородного стержня длиной \(l\) и массой \(m\) относительно оси, проходящей через его конец, равен: \[I = \frac{1}{3} m l^2\] 6. Связь между линейной скоростью нижнего конца стержня \(V\) и угловой скоростью \(\omega\): \[V = \omega l\] Отсюда угловая скорость: \[\omega = \frac{V}{l}\] 7. Подставим выражения для \(I\) и \(\omega\) в формулу для кинетической энергии: \[E_к = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} m l^2 \right) \left( \frac{V}{l} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} m l^2 \frac{V^2}{l^2} = \frac{1}{6} m V^2\] 8. Применим закон сохранения энергии: \(E_п = E_к\). \[mg \frac{l}{2} (1 - \cos \theta) = \frac{1}{6} m V^2\] 9. Сократим массу \(m\) с обеих сторон уравнения: \[g \frac{l}{2} (1 - \cos \theta) = \frac{1}{6} V^2\] 10. Выразим \(1 - \cos \theta\): \[1 - \cos \theta = \frac{1}{6} V^2 \cdot \frac{2}{gl} = \frac{V^2}{3gl}\] 11. Выразим \(\cos \theta\): \[\cos \theta = 1 - \frac{V^2}{3gl}\] 12. Подставим числовые значения: \[\cos \theta = 1 - \frac{(7 \text{ м/с})^2}{3 \cdot (9,8 \text{ м/с}^2) \cdot (1,5 \text{ м})}\] \[\cos \theta = 1 - \frac{49}{3 \cdot 9,8 \cdot 1,5}\] \[\cos \theta = 1 - \frac{49}{44,1}\] \[\cos \theta = 1 - 1,111...\] \[\cos \theta = -0,111...\] 13. Найдем угол \(\theta\): \[\theta = \arccos(-0,111...)\] Используя калькулятор, получаем: \[\theta \approx 96,38^\circ\] Ответ: Необходимо отклонить стержень на угол примерно \(96,38^\circ\). Для удобства переписывания в тетрадь: Заголовок: Задача А28* Дано: Длина стержня \(l = 1,5\) м Скорость нижнего конца \(V = 7\) м/с Ускорение свободного падения \(g = 9,8\) м/с\(^2\) Найти: Угол \(\theta\) Решение: 1. Запишем закон сохранения энергии. Начальная потенциальная энергия стержня переходит в конечную кинетическую энергию. \[E_п = E_к\] 2. Высота подъема центра масс стержня: Центр масс однородного стержня находится на расстоянии \(l/2\) от оси вращения. \[h = \frac{l}{2} - \frac{l}{2} \cos \theta = \frac{l}{2} (1 - \cos \theta)\] 3. Потенциальная энергия стержня: \[E_п = mgh = mg \frac{l}{2} (1 - \cos \theta)\] 4. Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец: \[I = \frac{1}{3} m l^2\] 5. Связь угловой и линейной скорости: \[\omega = \frac{V}{l}\] 6. Кинетическая энергия стержня: \[E_к = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} m l^2 \right) \left( \frac{V}{l} \right)^2 = \frac{1}{6} m V^2\] 7. Приравниваем потенциальную и кинетическую энергии: \[mg \frac{l}{2} (1 - \cos \theta) = \frac{1}{6} m V^2\] 8. Сокращаем массу \(m\) и выражаем \(\cos \theta\): \[g \frac{l}{2} (1 - \cos \theta) = \frac{1}{6} V^2\] \[1 - \cos \theta = \frac{V^2}{3gl}\] \[\cos \theta = 1 - \frac{V^2}{3gl}\] 9. Подставляем числовые значения: \[\cos \theta = 1 - \frac{(7)^2}{3 \cdot 9,8 \cdot 1,5}\] \[\cos \theta = 1 - \frac{49}{44,1}\] \[\cos \theta = 1 - 1,111...\] \[\cos \theta = -0,111...\] 10. Находим угол \(\theta\): \[\theta = \arccos(-0,111...) \approx 96,38^\circ\] Ответ: \(\theta \approx 96,38^\circ\).