Задача:
В трёхфазную сеть с симметричным линейным напряжением \(U_л\) включены сопротивления. Определить токи всех проводов цепи, активную, реактивную и полную мощности нагрузок.
Дано:
Линейное напряжение \(U_л = 380\) В.
Сопротивления фаз при соединении приёмников "звездой" или "треугольником":
Фаза A: \(r_A = 100\) Ом, \(X_{LA} = 120\) Ом, \(X_{CA} = 140\) Ом.
Фаза B: \(r_B = 120\) Ом, \(X_{LB} = 80\) Ом, \(X_{CB} = 80\) Ом.
Фаза C: \(r_C = 90\) Ом, \(X_{LC} = 200\) Ом, \(X_{CC} = 120\) Ом.
На схеме показано соединение "треугольником" (Δ). Сопротивления в фазах треугольника обозначены как \(X_L\), \(R\), \(X_C\).
Из схемы видно, что:
- Между фазами A и B включена индуктивность \(X_L\).
- Между фазами B и C включено активное сопротивление \(R\).
- Между фазами C и A включена ёмкость \(X_C\).
Сопоставляя данные таблицы и схему, можно предположить, что:
- Сопротивление между A и B (индуктивное) соответствует фазе A: \(Z_{AB} = jX_{LA} = j120\) Ом.
- Сопротивление между B и C (активное) соответствует фазе B: \(Z_{BC} = r_B = 120\) Ом.
- Сопротивление между C и A (ёмкостное) соответствует фазе C: \(Z_{CA} = -jX_{CC} = -j120\) Ом.
Примечание: В условии задачи есть избыточные данные (сопротивления для соединения "звездой" и некоторые сопротивления для "треугольника", которые не используются в данной схеме). Мы используем те, которые соответствуют схеме.
Решение:
1. Определим фазные напряжения при соединении "треугольником".
При соединении "треугольником" фазные напряжения равны линейным напряжениям:
\[U_{AB} = U_{BC} = U_{CA} = U_л = 380 \text{ В}\]Примем фазное напряжение \(U_{AB}\) за начало отсчета фаз:
\[\dot{U}_{AB} = 380 \angle 0^\circ \text{ В}\]Тогда остальные фазные напряжения будут:
\[\dot{U}_{BC} = 380 \angle -120^\circ \text{ В}\] \[\dot{U}_{CA} = 380 \angle 120^\circ \text{ В}\]2. Определим комплексные сопротивления фаз нагрузки.
Фаза AB (индуктивная):
\[\dot{Z}_{AB} = jX_{LA} = j120 \text{ Ом}\]Фаза BC (активная):
\[\dot{Z}_{BC} = r_B = 120 \text{ Ом}\]Фаза CA (ёмкостная):
\[\dot{Z}_{CA} = -jX_{CC} = -j120 \text{ Ом}\]3. Определим фазные токи нагрузки.
Ток в фазе AB:
\[\dot{I}_{AB} = \frac{\dot{U}_{AB}}{\dot{Z}_{AB}} = \frac{380 \angle 0^\circ}{j120} = \frac{380 \angle 0^\circ}{120 \angle 90^\circ} = \frac{380}{120} \angle (0^\circ - 90^\circ) = 3.167 \angle -90^\circ \text{ А}\]Ток в фазе BC:
\[\dot{I}_{BC} = \frac{\dot{U}_{BC}}{\dot{Z}_{BC}} = \frac{380 \angle -120^\circ}{120} = \frac{380}{120} \angle -120^\circ = 3.167 \angle -120^\circ \text{ А}\]Ток в фазе CA:
\[\dot{I}_{CA} = \frac{\dot{U}_{CA}}{\dot{Z}_{CA}} = \frac{380 \angle 120^\circ}{-j120} = \frac{380 \angle 120^\circ}{120 \angle -90^\circ} = \frac{380}{120} \angle (120^\circ - (-90^\circ)) = 3.167 \angle 210^\circ \text{ А}\]Или, что то же самое, \(3.167 \angle -150^\circ \text{ А}\).
4. Определим линейные токи.
Линейные токи при соединении "треугольником" определяются как разность фазных токов, входящих и выходящих из узла:
\[\dot{I}_A = \dot{I}_{AB} - \dot{I}_{CA}\] \[\dot{I}_B = \dot{I}_{BC} - \dot{I}_{AB}\] \[\dot{I}_C = \dot{I}_{CA} - \dot{I}_{BC}\]Вычислим линейный ток \(\dot{I}_A\):
\[\dot{I}_{AB} = 3.167 \angle -90^\circ = 3.167 (\cos(-90^\circ) + j\sin(-90^\circ)) = 3.167 (0 - j1) = -j3.167 \text{ А}\] \[\dot{I}_{CA} = 3.167 \angle 210^\circ = 3.167 (\cos(210^\circ) + j\sin(210^\circ)) = 3.167 (-0.866 - j0.5) = -2.742 - j1.5835 \text{ А}\] \[\dot{I}_A = (-j3.167) - (-2.742 - j1.5835) = 2.742 - j3.167 + j1.5835 = 2.742 - j1.5835 \text{ А}\]Модуль и фаза \(\dot{I}_A\):
\[|\dot{I}_A| = \sqrt{2.742^2 + (-1.5835)^2} = \sqrt{7.518 + 2.507} = \sqrt{10.025} \approx 3.166 \text{ А}\] \[\phi_A = \arctan\left(\frac{-1.5835}{2.742}\right) \approx \arctan(-0.5775) \approx -30^\circ\] \[\dot{I}_A \approx 3.166 \angle -30^\circ \text{ А}\]Вычислим линейный ток \(\dot{I}_B\):
\[\dot{I}_{BC} = 3.167 \angle -120^\circ = 3.167 (\cos(-120^\circ) + j\sin(-120^\circ)) = 3.167 (-0.5 - j0.866) = -1.5835 - j2.742 \text{ А}\] \[\dot{I}_B = (-1.5835 - j2.742) - (-j3.167) = -1.5835 - j2.742 + j3.167 = -1.5835 + j0.425 \text{ А}\]Модуль и фаза \(\dot{I}_B\):
\[|\dot{I}_B| = \sqrt{(-1.5835)^2 + 0.425^2} = \sqrt{2.507 + 0.1806} = \sqrt{2.6876} \approx 1.639 \text{ А}\] \[\phi_B = \arctan\left(\frac{0.425}{-1.5835}\right) \approx \arctan(-0.2684) \approx 180^\circ - 15.0^\circ = 165^\circ\] \[\dot{I}_B \approx 1.639 \angle 165^\circ \text{ А}\]Вычислим линейный ток \(\dot{I}_C\):
\[\dot{I}_C = \dot{I}_{CA} - \dot{I}_{BC} = (-2.742 - j1.5835) - (-1.5835 - j2.742) = -2.742 - j1.5835 + 1.5835 + j2.742 = -1.1585 + j1.1585 \text{ А}\]Модуль и фаза \(\dot{I}_C\):
\[|\dot{I}_C| = \sqrt{(-1.1585)^2 + 1.1585^2} = \sqrt{1.342 + 1.342} = \sqrt{2.684} \approx 1.638 \text{ А}\] \[\phi_C = \arctan\left(\frac{1.1585}{-1.1585}\right) = \arctan(-1) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\] \[\dot{I}_C \approx 1.638 \angle 135^\circ \text{ А}\]Проверим баланс токов: \(\dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C = 0\)
\[(2.742 - j1.5835) + (-1.5835 + j0.425) + (-1.1585 + j1.1585) = (2.742 - 1.5835 - 1.1585) + j(-1.5835 + 0.425 + 1.1585) = 0 + j0 = 0\]Баланс токов сходится, расчеты верны.
5. Определим активную, реактивную и полную мощности нагрузок.
Активная мощность каждой фазы:
\[P_{AB} = U_{AB} I_{AB} \cos(\phi_{AB})\]Для индуктивной нагрузки \(\phi_{AB} = 90^\circ\), \(\cos(90^\circ) = 0\). Значит, \(P_{AB} = 0\).
Для активной нагрузки \(\phi_{BC} = 0^\circ\), \(\cos(0^\circ) = 1\). Значит, \(P_{BC} = U_{BC} I_{BC} = 380 \cdot 3.167 = 1203.46 \text{ Вт}\).
Для ёмкостной нагрузки \(\phi_{CA} = -90^\circ\), \(\cos(-90^\circ) = 0\). Значит, \(P_{CA} = 0\).
Общая активная мощность нагрузки:
\[P = P_{AB} + P_{BC} + P_{CA} = 0 + 1203.46 + 0 = 1203.46 \text{ Вт}\]Реактивная мощность каждой фазы:
\[Q_{AB} = U_{AB} I_{AB} \sin(\phi_{AB})\]Для индуктивной нагрузки \(\phi_{AB} = 90^\circ\), \(\sin(90^\circ) = 1\). Значит, \(Q_{AB} = U_{AB} I_{AB} = 380 \cdot 3.167 = 1203.46 \text{ ВАр}\).
Для активной нагрузки \(\phi_{BC} = 0^\circ\), \(\sin(0^\circ) = 0\). Значит, \(Q_{BC} = 0\).
Для ёмкостной нагрузки \(\phi_{CA} = -90^\circ\), \(\sin(-90^\circ) = -1\). Значит, \(Q_{CA} = U_{CA} I_{CA} (-1) = 380 \cdot 3.167 \cdot (-1) = -1203.46 \text{ ВАр}\).
Общая реактивная мощность нагрузки:
\[Q = Q_{AB} + Q_{BC} + Q_{CA} = 1203.46 + 0 - 1203.46 = 0 \text{ ВАр}\]Полная мощность нагрузки:
\[S = \sqrt{P^2 + Q^2} = \sqrt{1203.46^2 + 0^2} = 1203.46 \text{ ВА}\]Ответ:
Линейные токи:
- \(\dot{I}_A \approx 3.166 \angle -30^\circ \text{ А}\)
- \(\dot{I}_B \approx 1.639 \angle 165^\circ \text{ А}\)
- \(\dot{I}_C \approx 1.638 \angle 135^\circ \text{ А}\)
Мощности нагрузки:
- Активная мощность \(P = 1203.46 \text{ Вт}\)
- Реактивная мощность \(Q = 0 \text{ ВАр}\)
- Полная мощность \(S = 1203.46 \text{ ВА}\)