Решение задачи: Вертикальные напряжения в грунте от сосредоточенных сил

Задача 1. К горизонтальной поверхности массива грунта в одном створе приложены три вертикальные сосредоточенные силы \(N_1\), \(N_2\), \(N_3\). Расстояние между осями действия сил \(r_1\) и \(r_2\). Определить значения вертикальных составляющих напряжений \(\sigma_z\) от совместного действия сосредоточенных сил в точках массива грунта, расположенных в плоскости действия сил: 1) по вертикали I-I, проходящей через точку приложения силы \(N_2\); 2) по горизонтали II-II, проходящей на расстоянии \(Z\) от поверхности массива грунта. Точки по вертикали расположить от поверхности на расстоянии \(1,0\), \(2,0\), \(4,0\), \(6,0\) м. Точки по горизонтали расположить вправо и влево от оси действия силы \(N_2\) на расстоянии \(0\), \(1,0\), \(3,0\) м. По вычисленным напряжениям и заданным осям построить эпюры распределения напряжений \(\sigma_z\). Исходные данные приведены в табл. 1. Схема расчета представлена на рис. 1. Таблица 1. Исходные данные. | \(N_1\), кН | \(N_2\), кН | \(N_3\), кН | \(r_1\), м | \(r_2\), м | \(Z\), м | |---|---|---|---|---|---| | 1800 | 800 | 1400 | 3,0 | 1,0 | 3,0 | Решение: Вертикальные напряжения \(\sigma_z\) в любой точке массива грунта от действия сосредоточенных сил определяются суммированием напряжений от действия каждой силы в отдельности по формуле: \[ \sigma_z = \frac{1}{z^2} (K_1 N_1 + K_2 N_2 + K_3 N_3) \quad (1) \] где \(K_i\) - коэффициенты, зависящие от отношения \(r_i/z\), где \(r_i\) - расстояние от точки приложения силы до рассматриваемой точки, \(z\) - глубина рассматриваемой точки. 1) Вычислим величину \(\sigma_z\) по сечению I-I (по вертикали, проходящей через точку приложения силы \(N_2\)). Для этого сечения: Расстояние от оси действия силы \(N_1\) до вертикали I-I: \(r_1 = 3,0\) м. Расстояние от оси действия силы \(N_2\) до вертикали I-I: \(r_2 = 0\) м. Расстояние от оси действия силы \(N_3\) до вертикали I-I: \(r_3 = 1,0\) м. Значения \(z\) изменяются: \(1,0\), \(2,0\), \(4,0\), \(6,0\) м. Точка 1. \(z = 1,0\) м. Отношения \(r_i/z\): Для \(N_1\): \(r_1/z = 3,0/1,0 = 3,0\). По таблице коэффициентов \(K\) (или графику) находим \(K_1(3,0) = 0,0085\). Для \(N_2\): \(r_2/z = 0/1,0 = 0\). По таблице коэффициентов \(K\) (или графику) находим \(K_2(0) = 0,4775\). Для \(N_3\): \(r_3/z = 1,0/1,0 = 1,0\). По таблице коэффициентов \(K\) (или графику) находим \(K_3(1,0) = 0,084\). Подставляем значения в формулу (1): \[ \sigma_z = \frac{1}{1,0^2} (0,0085 \cdot 1800 + 0,4775 \cdot 800 + 0,084 \cdot 1400) \] \[ \sigma_z = 1 \cdot (15,3 + 382 + 117,6) = 514,9 \text{ кПа} \] Точка 2. \(z = 2,0\) м. Отношения \(r_i/z\): Для \(N_1\): \(r_1/z = 3,0/2,0 = 1,5\). По таблице коэффициентов \(K\) (или графику) находим \(K_1(1,5) = 0,045\). Для \(N_2\): \(r_2/z = 0/2,0 = 0\). По таблице коэффициентов \(K\) (или графику) находим \(K_2(0) = 0,4775\). Для \(N_3\): \(r_3/z = 1,0/2,0 = 0,5\). По таблице коэффициентов \(K\) (или графику) находим \(K_3(0,5) = 0,273\). Подставляем значения в формулу (1): \[ \sigma_z = \frac{1}{2,0^2} (0,045 \cdot 1800 + 0,4775 \cdot 800 + 0,273 \cdot 1400) \] \[ \sigma_z = \frac{1}{4} (81 + 382 + 382,2) = \frac{845,2}{4} = 211,3 \text{ кПа} \] Точка 3. \(z = 4,0\) м. Отношения \(r_i/z\): Для \(N_1\): \(r_1/z = 3,0/4,0 = 0,75\). По таблице коэффициентов \(K\) (или графику) находим \(K_1(0,75) = 0,156\). Для \(N_2\): \(r_2/z = 0/4,0 = 0\). По таблице коэффициентов \(K\) (или графику) находим \(K_2(0) = 0,4775\). Для \(N_3\): \(r_3/z = 1,0/4,0 = 0,25\). По таблице коэффициентов \(K\) (или графику) находим \(K_3(0,25) = 0,408\). Подставляем значения в формулу (1): \[ \sigma_z = \frac{1}{4,0^2} (0,156 \cdot 1800 + 0,4775 \cdot 800 + 0,408 \cdot 1400) \] \[ \sigma_z = \frac{1}{16} (280,8 + 382 + 571,2) = \frac{1234}{16} = 77,125 \text{ кПа} \] Точка 4. \(z = 6,0\) м. Отношения \(r_i/z\): Для \(N_1\): \(r_1/z = 3,0/6,0 = 0,5\). По таблице коэффициентов \(K\) (или графику) находим \(K_1(0,5) = 0,273\). Для \(N_2\): \(r_2/z = 0/6,0 = 0\). По таблице коэффициентов \(K\) (или графику) находим \(K_2(0) = 0,4775\). Для \(N_3\): \(r_3/z = 1,0/6,0 = 0,167\). По таблице коэффициентов \(K\) (или графику) находим \(K_3(0,167) \approx 0,45\). Подставляем значения в формулу (1): \[ \sigma_z = \frac{1}{6,0^2} (0,273 \cdot 1800 + 0,4775 \cdot 800 + 0,45 \cdot 1400) \] \[ \sigma_z = \frac{1}{36} (491,4 + 382 + 630) = \frac{1503,4}{36} = 41,76 \text{ кПа} \] Сведем результаты для сечения I-I в таблицу: | \(z\), м | \(r_1/z\) | \(K_1\) | \(r_2/z\) | \(K_2\) | \(r_3/z\) | \(K_3\) | \(\sigma_z\), кПа | |---|---|---|---|---|---|---|---| | 1,0 | 3,0 | 0,0085 | 0 | 0,4775 | 1,0 | 0,084 | 514,9 | | 2,0 | 1,5 | 0,045 | 0 | 0,4775 | 0,5 | 0,273 | 211,3 | | 4,0 | 0,75 | 0,156 | 0 | 0,4775 | 0,25 | 0,408 | 77,125 | | 6,0 | 0,5 | 0,273 | 0 | 0,4775 | 0,167 | 0,45 | 41,76 | 2) Вычислим величину \(\sigma_z\) по горизонтали II-II, проходящей на расстоянии \(Z = 3,0\) м от поверхности. Для этого сечения \(z = 3,0\) м. Точки по горизонтали расположены вправо и влево от оси действия силы \(N_2\) на расстоянии \(x\): \(0\), \(1,0\), \(3,0\) м. Ось действия силы \(N_2\) примем за начало отсчета \(x\). Положение сил: \(N_1\) находится на расстоянии \(r_1 = 3,0\) м от \(N_2\). \(N_3\) находится на расстоянии \(r_2 = 1,0\) м от \(N_2\). Рассмотрим точки на горизонтали II-II: Точка 1. \(x = 0\) м (под силой \(N_2\)). Расстояния до сил: \(r_1 = 3,0\) м (до \(N_1\)). \(r_2 = 0\) м (до \(N_2\)). \(r_3 = 1,0\) м (до \(N_3\)). Глубина \(z = 3,0\) м. Отношения \(r_i/z\): Для \(N_1\): \(r_1/z = 3,0/3,0 = 1,0\). \(K_1(1,0) = 0,084\). Для \(N_2\): \(r_2/z = 0/3,0 = 0\). \(K_2(0) = 0,4775\). Для \(N_3\): \(r_3/z = 1,0/3,0 = 0,333\). \(K_3(0,333) \approx 0,36\). Подставляем значения в формулу (1): \[ \sigma_z = \frac{1}{3,0^2} (0,084 \cdot 1800 + 0,4775 \cdot 800 + 0,36 \cdot 1400) \] \[ \sigma_z = \frac{1}{9} (151,2 + 382 + 504) = \frac{1037,2}{9} = 115,24 \text{ кПа} \] Точка 2. \(x = 1,0\) м (вправо от \(N_2\)). Расстояния до сил: \(r_1 = 3,0 - 1,0 = 2,0\) м (до \(N_1\)). \(r_2 = 1,0\) м (до \(N_2\)). \(r_3 = 1,0 - 1,0 = 0\) м (до \(N_3\)). Глубина \(z = 3,0\) м. Отношения \(r_i/z\): Для \(N_1\): \(r_1/z = 2,0/3,0 = 0,667\). \(K_1(0,667) \approx 0,19\). Для \(N_2\): \(r_2/z = 1,0/3,0 = 0,333\). \(K_2(0,333) \approx 0,36\). Для \(N_3\): \(r_3/z = 0/3,0 = 0\). \(K_3(0) = 0,4775\). Подставляем значения в формулу (1): \[ \sigma_z = \frac{1}{3,0^2} (0,19 \cdot 1800 + 0,36 \cdot 800 + 0,4775 \cdot 1400) \] \[ \sigma_z = \frac{1}{9} (342 + 288 + 668,5) = \frac{1298,5}{9} = 144,28 \text{ кПа} \] Точка 3. \(x = 3,0\) м (вправо от \(N_2\)). Расстояния до сил: \(r_1 = 3,0 - 3,0 = 0\) м (до \(N_1\)). \(r_2 = 3,0\) м (до \(N_2\)). \(r_3 = 3,0 - 1,0 = 2,0\) м (до \(N_3\)). Глубина \(z = 3,0\) м. Отношения \(r_i/z\): Для \(N_1\): \(r_1/z = 0/3,0 = 0\). \(K_1(0) = 0,4775\). Для \(N_2\): \(r_2/z = 3,0/3,0 = 1,0\). \(K_2(1,0) = 0,084\). Для \(N_3\): \(r_3/z = 2,0/3,0 = 0,667\). \(K_3(0,667) \approx 0,19\). Подставляем значения в формулу (1): \[ \sigma_z = \frac{1}{3,0^2} (0,4775 \cdot 1800 + 0,084 \cdot 800 + 0,19 \cdot 1400) \] \[ \sigma_z = \frac{1}{9} (859,5 + 67,2 + 266) = \frac{1192,7}{9} = 132,52 \text{ кПа} \] Теперь рассмотрим точки влево от оси действия силы \(N_2\). Точка 4. \(x = -1,0\) м (влево от \(N_2\)). Расстояния до сил: \(r_1 = 3,0 + 1,0 = 4,0\) м (до \(N_1\)). \(r_2 = 1,0\) м (до \(N_2\)). \(r_3 = 1,0 - (-1,0) = 2,0\) м (до \(N_3\)). Глубина \(z = 3,0\) м. Отношения \(r_i/z\): Для \(N_1\): \(r_1/z = 4,0/3,0 = 1,333\). \(K_1(1,333) \approx 0,058\). Для \(N_2\): \(r_2/z = 1,0/3,0 = 0,333\). \(K_2(0,333) \approx 0,36\). Для \(N_3\): \(r_3/z = 2,0/3,0 = 0,667\). \(K_3(0,667) \approx 0,19\). Подставляем значения в формулу (1): \[ \sigma_z = \frac{1}{3,0^2} (0,058 \cdot 1800 + 0,36 \cdot 800 + 0,19 \cdot 1400) \] \[ \sigma_z = \frac{1}{9} (104,4 + 288 + 266