Решение задачи про двух рабочих

Вот решение задачи: Задача 21. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить производственное задание за 20 дней. За сколько дней может выполнить это задание каждый из них, работая самостоятельно, если одному для этого требуется на 9 дней больше, чем другому? Решение: 1. Пусть первый рабочий выполняет задание за \(x\) дней. 2. Тогда второй рабочий выполняет задание за \(x + 9\) дней, так как ему требуется на 9 дней больше. 3. Производительность первого рабочего (часть задания, которую он выполняет за 1 день) равна \(\frac{1}{x}\). 4. Производительность второго рабочего равна \(\frac{1}{x+9}\). 5. Когда они работают вместе, их общая производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+9}\). 6. Известно, что вместе они выполняют задание за 20 дней. Значит, их общая производительность также равна \(\frac{1}{20}\). 7. Составим уравнение: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{x+9} = \frac{1}{20}\] 8. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю \(x(x+9)\): \[\frac{x+9}{x(x+9)} + \frac{x}{x(x+9)} = \frac{1}{20}\] \[\frac{x+9+x}{x(x+9)} = \frac{1}{20}\] \[\frac{2x+9}{x^2+9x} = \frac{1}{20}\] 9. Перемножим крест-на-крест: \[20(2x+9) = 1(x^2+9x)\] \[40x + 180 = x^2 + 9x\] 10. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[x^2 + 9x - 40x - 180 = 0\] \[x^2 - 31x - 180 = 0\] 11. Решим квадратное уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a=1\), \(b=-31\), \(c=-180\). \[D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4 \times 1 \times (-180)\] \[D = 961 + 720\] \[D = 1681\] \[\sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41\] 12. Найдем корни \(x_1\) и \(x_2\): \[x_1 = \frac{-(-31) + 41}{2 \times 1} = \frac{31 + 41}{2} = \frac{72}{2} = 36\] \[x_2 = \frac{-(-31) - 41}{2 \times 1} = \frac{31 - 41}{2} = \frac{-10}{2} = -5\] 13. Так как количество дней не может быть отрицательным, то \(x = 36\). 14. Значит, первый рабочий выполняет задание за 36 дней. 15. Второй рабочий выполняет задание за \(x + 9 = 36 + 9 = 45\) дней. Проверка: Производительность первого рабочего: \(\frac{1}{36}\) Производительность второго рабочего: \(\frac{1}{45}\) Общая производительность: \(\frac{1}{36} + \frac{1}{45}\) Найдем общий знаменатель для 36 и 45. НОК(36, 45) = 180. \(\frac{5}{180} + \frac{4}{180} = \frac{9}{180} = \frac{1}{20}\) Это означает, что вместе они выполнят задание за 20 дней, что соответствует условию задачи. Ответ: Один рабочий может выполнить задание за 36 дней, а другой – за 45 дней.