Решение задачи 21: Катер и течение реки

Вот решение задачи: Задача 21. Катер проходит 48 км против течения реки и 30 км по течению реки за 3 ч, а 15 км по течению – на 1 ч быстрее, чем 36 км против течения. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки. Решение: 1. Обозначим: \(v_к\) – собственная скорость катера (км/ч). \(v_т\) – скорость течения реки (км/ч). 2. Скорость катера по течению: \(v_п = v_к + v_т\) (км/ч). 3. Скорость катера против течения: \(v_{пр} = v_к - v_т\) (км/ч). Важно: \(v_к > v_т\), иначе катер не сможет двигаться против течения. 4. Время, затраченное на путь, вычисляется по формуле \(t = \frac{S}{v}\). Составим систему уравнений на основе условий задачи. Первое условие: Катер проходит 48 км против течения и 30 км по течению за 3 часа. Время против течения: \(\frac{48}{v_к - v_т}\) Время по течению: \(\frac{30}{v_к + v_т}\) Суммарное время: \[\frac{48}{v_к - v_т} + \frac{30}{v_к + v_т} = 3 \quad (1)\] Второе условие: 15 км по течению – на 1 ч быстрее, чем 36 км против течения. Время на 15 км по течению: \(\frac{15}{v_к + v_т}\) Время на 36 км против течения: \(\frac{36}{v_к - v_т}\) Разница во времени: \[\frac{36}{v_к - v_т} - \frac{15}{v_к + v_т} = 1 \quad (2)\] Для удобства введем замены: Пусть \(a = \frac{1}{v_к - v_т}\) и \(b = \frac{1}{v_к + v_т}\). Тогда система уравнений примет вид: \[48a + 30b = 3 \quad (1')\] \[36a - 15b = 1 \quad (2')\] Решим эту систему методом сложения. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при \(b\) стали противоположными: \[48a + 30b = 3\] \[2 \times (36a - 15b) = 2 \times 1 \Rightarrow 72a - 30b = 2\] Теперь сложим два уравнения: \[(48a + 30b) + (72a - 30b) = 3 + 2\] \[48a + 72a = 5\] \[120a = 5\] \[a = \frac{5}{120} = \frac{1}{24}\] Теперь подставим значение \(a\) в одно из уравнений, например, в \((2')\): \[36 \times \frac{1}{24} - 15b = 1\] \[\frac{36}{24} - 15b = 1\] \[\frac{3}{2} - 15b = 1\] \[1.5 - 15b = 1\] \[-15b = 1 - 1.5\] \[-15b = -0.5\] \[b = \frac{-0.5}{-15} = \frac{0.5}{15} = \frac{1}{30}\] Теперь вернемся к исходным переменным: \[a = \frac{1}{v_к - v_т} = \frac{1}{24} \Rightarrow v_к - v_т = 24 \quad (3)\] \[b = \frac{1}{v_к + v_т} = \frac{1}{30} \Rightarrow v_к + v_т = 30 \quad (4)\] Получили новую систему уравнений: \[v_к - v_т = 24\] \[v_к + v_т = 30\] Сложим эти два уравнения: \[(v_к - v_т) + (v_к + v_т) = 24 + 30\] \[2v_к = 54\] \[v_к = \frac{54}{2}\] \[v_к = 27 \text{ км/ч}\] Теперь подставим значение \(v_к\) в уравнение \((4)\): \[27 + v_т = 30\] \[v_т = 30 - 27\] \[v_т = 3 \text{ км/ч}\] Проверка: Собственная скорость катера \(v_к = 27\) км/ч. Скорость течения реки \(v_т = 3\) км/ч. Скорость по течению: \(27 + 3 = 30\) км/ч. Скорость против течения: \(27 - 3 = 24\) км/ч. Проверим первое условие: 48 км против течения и 30 км по течению за 3 часа. Время против течения: \(\frac{48}{24} = 2\) ч. Время по течению: \(\frac{30}{30} = 1\) ч. Общее время: \(2 + 1 = 3\) ч. (Верно) Проверим второе условие: 15 км по течению – на 1 ч быстрее, чем 36 км против течения. Время на 15 км по течению: \(\frac{15}{30} = 0.5\) ч. Время на 36 км против течения: \(\frac{36}{24} = 1.5\) ч. Разница во времени: \(1.5 - 0.5 = 1\) ч. (Верно) Ответ: Собственная скорость катера составляет 27 км/ч, а скорость течения реки – 3 км/ч.