Решение задачи по геометрии: Параллелограмм и биссектриса

Задача 1

Дано:

Параллелограмм ABCD.

Сторона AB = 18.

AM - биссектриса угла A.

Угол AMD = 90°.

Найти:

Периметр параллелограмма ABCD (P_ABCD).

Решение:

1. Так как ABCD - параллелограмм, то AD || BC.
2. AM - биссектриса угла A, значит, угол BAM = углу MAD.
3. Углы MAD и AMB являются накрест лежащими углами при параллельных прямых AD и BC и секущей AM. Следовательно, угол MAD = углу AMB.
4. Из пунктов 2 и 3 следует, что угол BAM = углу AMB.
5. Если в треугольнике ABM углы BAM и AMB равны, то треугольник ABM является равнобедренным. Значит, AB = BM.
6. По условию AB = 18, следовательно, BM = 18.
7. Рассмотрим треугольник AMD. По условию угол AMD = 90°, то есть треугольник AMD - прямоугольный.
8. В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть AB = CD = 18.
9. Также AD = BC.
10. Мы знаем, что BC = BM + MC.
11. В прямоугольном треугольнике AMD, если AM - биссектриса угла A, то это не дает нам напрямую длину AD или MC.
12. Давайте пересмотрим. У нас есть AM - биссектриса угла A. Угол MAD = углу AMB (как накрест лежащие). Значит, треугольник ABM - равнобедренный, AB = BM = 18.
13. В параллелограмме AD = BC.
14. Мы знаем, что BC = BM + MC.
15. Рассмотрим треугольник AMD. Угол AMD = 90°.
16. Угол A + Угол B = 180° (как соседние углы параллелограмма).
17. Угол B + Угол C = 180°.
18. Угол C + Угол D = 180°.
19. Угол D + Угол A = 180°.
20. В треугольнике AMD: Угол MAD + Угол ADM + Угол AMD = 180°.
21. Угол MAD + Угол ADM + 90° = 180°.
22. Угол MAD + Угол ADM = 90°.
23. Так как AM - биссектриса угла A, то Угол MAD = Угол A / 2.
24. Значит, Угол A / 2 + Угол ADM = 90°.
25. Это означает, что Угол ADM = 90° - Угол A / 2.
26. В параллелограмме Угол A = Угол C и Угол B = Угол D.
27. Угол D = Угол ADM + Угол MDC.
28. Это не приводит к простому решению. Давайте вернемся к тому, что AM - биссектриса угла A.
29. Угол BAM = Угол MAD.
30. Так как AD || BC, то Угол MAD = Угол AMB (накрест лежащие).
31. Следовательно, Угол BAM = Угол AMB.
32. Треугольник ABM - равнобедренный, AB = BM = 18.
33. В параллелограмме AD = BC.
34. BC = BM + MC.
35. Теперь рассмотрим треугольник MCD.
36. Угол CMD = 180° - Угол AMD = 180° - 90° = 90°.
37. Значит, треугольник MCD - прямоугольный.
38. Это не совсем так. Угол AMD = 90° означает, что AM перпендикулярна MD.
39. Давайте используем свойство биссектрисы в параллелограмме. Если биссектриса угла параллелограмма пересекает сторону, то она отсекает равнобедренный треугольник.
40. В нашем случае AM - биссектриса угла A. Она пересекает сторону BC в точке M.
41. Значит, треугольник ABM - равнобедренный, и AB = BM.
42. AB = 18, значит BM = 18.
43. Теперь нам нужно найти AD.
44. В параллелограмме AD = BC.
45. BC = BM + MC.
46. Мы знаем, что Угол AMD = 90°.
47. Рассмотрим треугольник ADM. Он прямоугольный.
48. Угол MAD = Угол A / 2.
49. Угол ADM = Угол D.
50. Угол A + Угол D = 180°.
51. Угол MAD + Угол ADM = 90°.
52. Угол A / 2 + Угол D = 90°.
53. Угол D = 90° - Угол A / 2.
54. Это не помогает найти стороны.
55. Давайте еще раз внимательно посмотрим на рисунок и условия.
56. AM - биссектриса угла A.
57. Угол AMD = 90°.
58. В параллелограмме AD || BC.
59. Угол DAM = Угол AMB (как накрест лежащие при AD || BC и секущей AM).
60. Так как AM - биссектриса, Угол DAM = Угол MAB.
61. Следовательно, Угол MAB = Угол AMB.
62. Значит, треугольник ABM - равнобедренный с основанием AM.
63. Тогда AB = BM.
64. По условию AB = 18, значит BM = 18.
65. Теперь нам нужно найти AD.
66. В параллелограмме AD = BC.
67. BC = BM + MC.
68. Рассмотрим треугольник AMD. Он прямоугольный (Угол AMD = 90°).
69. Угол MAD + Угол ADM = 90°.
70. Угол MAD = Угол A / 2.
71. Угол ADM = Угол D.
72. В параллелограмме Угол A + Угол D = 180°.
73. Значит, Угол D = 180° - Угол A.
74. Подставим это в уравнение для треугольника AMD:
75. Угол A / 2 + (180° - Угол A) = 90°.
76. Угол A / 2 + 180° - Угол A = 90°.
77. 180° - Угол A / 2 = 90°.
78. Угол A / 2 = 180° - 90°.
79. Угол A / 2 = 90°.
80. Угол A = 180°.
81. Это невозможно для параллелограмма. Значит, я где-то ошибся в рассуждениях.
82. Ошибка в том, что Угол ADM - это не весь угол D. Угол ADM - это часть угла D.
83. Давайте еще раз.
84. 1. ABCD - параллелограмм. AD || BC.
85. 2. AM - биссектриса угла A. Значит, Угол BAM = Угол MAD.
86. 3. Угол MAD = Угол AMB (как накрест лежащие при AD || BC и секущей AM).
87. 4. Из 2 и 3 следует, что Угол BAM = Угол AMB.
88. 5. Треугольник ABM - равнобедренный, AB = BM.
89. 6. По условию AB = 18, значит BM = 18.
90. 7. Угол AMD = 90°.
91. 8. Рассмотрим треугольник AMD. Он прямоугольный.
92. 9. Угол MAD + Угол ADM = 90°.
93. 10. Угол MAD = Угол A / 2.
94. 11. Угол ADM - это часть угла D.
95. 12. В параллелограмме Угол A + Угол D = 180°.
96. 13. Угол D = 180° - Угол A.
97. 14. Угол ADM - это не Угол D.
98. 15. Давайте посмотрим на треугольник ABM. Угол MAB = Угол AMB.
99. 16. Угол ABM = 180° - (Угол MAB + Угол AMB) = 180° - 2 * Угол MAB.
100. 17. Угол ABM = Угол B.
101. 18. Угол B = 180° - 2 * Угол MAB.
102. 19. Угол MAB = Угол A / 2.
103. 20. Значит, Угол B = 180° - 2 * (Угол A / 2) = 180° - Угол A.
104. 21. Это верно для любого параллелограмма.
105. 22. Теперь используем Угол AMD = 90°.
106. 23. Угол AMB + Угол AMD + Угол DMC = 180° (если B, M, C лежат на одной прямой).
107. 24. Угол AMB + 90° + Угол DMC = 180°.
108. 25. Угол AMB + Угол DMC = 90°.
109. 26. Мы знаем, что Угол AMB = Угол MAB = Угол A / 2.
110. 27. Значит, Угол A / 2 + Угол DMC = 90°.
111. 28. Рассмотрим треугольник MCD.
112. 29. Угол MCD = Угол C = Угол A.
113. 30. Угол MDC = Угол D - Угол ADM.
114. 31. Это слишком сложно. Давайте попробуем по-другому.
115. 32. В параллелограмме ABCD, AD || BC.
116. 33. AM - биссектриса угла A. Значит, Угол DAM = Угол MAB.
117. 34. Угол DAM = Угол AMB (как накрест лежащие при AD || BC и секущей AM).
118. 35. Следовательно, Угол MAB = Угол AMB.
119. 36. Треугольник ABM - равнобедренный, AB = BM.
120. 37. AB = 18, значит BM = 18.
121. 38. Угол AMD = 90°.
122. 39. Рассмотрим прямую BC. Точка M лежит на BC.
123. 40. Угол AMB + Угол AMD + Угол DMC = 180° - это неверно, так как M - точка на BC, а не на прямой, проходящей через A и D.
124. 41. Угол AMB и Угол CMD не являются смежными.
125. 42. Угол AMD = 90°.
126. 43. В параллелограмме AD || BC.
127. 44. Проведем высоту из точки M на AD. Пусть это будет точка K. Тогда MK перпендикулярна AD.
128. 45. Это не помогает.
129. 46. Давайте используем свойство, что если биссектриса угла параллелограмма перпендикулярна одной из сторон, то параллелограмм является ромбом.
130. 47. В нашем случае AM - биссектриса угла A. MD перпендикулярна AM (Угол AMD = 90°).
131. 48. Это означает, что AM перпендикулярна AD.
132. 49. Если AM перпендикулярна AD, то Угол MAD = 90°.
133. 50. Но Угол MAD - это половина угла A. Значит, Угол A = 180°. Это невозможно.
134. 51. Значит, MD не является стороной параллелограмма. MD - это отрезок.
135. 52. Угол AMD = 90°.
136. 53. Мы уже установили, что AB = BM = 18.
137. 54. В параллелограмме AD = BC.
138. 55. BC = BM + MC.
139. 56. Нам нужно найти AD.
140. 57. Рассмотрим треугольник AMD. Он прямоугольный.
141. 58. Угол MAD + Угол ADM = 90°.
142. 59. Угол MAD = Угол A / 2.
143. 60. Угол ADM - это часть угла D.
144. 61. В параллелограмме Угол A + Угол D = 180°.
145. 62. Угол D = 180° - Угол A.
146. 63. Угол ADM = Угол D. Это неверно. Угол ADM - это угол между AD и DM.
147. 64. Давайте рассмотрим треугольник ABM. Он равнобедренный, AB = BM = 18.
148. 65. Угол MAB = Угол AMB = Угол A / 2.
149. 66. Угол ABM = 180° - Угол A.
150. 67. Теперь рассмотрим треугольник MCD.
151. 68. Угол DMC = 180° - Угол AMD - Угол AMB.
152. 69. Угол DMC = 180° - 90° - Угол A / 2 = 90° - Угол A / 2.
153. 70. В треугольнике MCD: Угол MCD = Угол C = Угол A.
154. 71. Угол MDC = 180° - Угол MCD - Угол DMC.
155. 72. Угол MDC = 180° - Угол A - (90° - Угол A / 2).
156. 73. Угол MDC = 180° - Угол A - 90° + Угол A / 2.
157. 74. Угол MDC = 90° - Угол A / 2.
158. 75. Теперь мы знаем, что Угол MDC = 90° - Угол A / 2.
159. 76. Также Угол MAD = Угол A / 2.
160. 77. Угол ADM = Угол D - Угол MDC.
161. 78. Угол D = 180° - Угол A.
162. 79. Угол ADM = (180° - Угол A) - (90° - Угол A / 2).
163. 80. Угол ADM = 180° - Угол A - 90° + Угол A / 2.
164. 81. Угол ADM = 90° - Угол A / 2.
165. 82. Значит, Угол MDC = Угол ADM = 90° - Угол A / 2.
166. 83. Это означает, что DM является биссектрисой угла D.
167. 84. Если DM - биссектриса угла D, то треугольник MCD - равнобедренный, MC = CD.
168. 85. В параллелограмме CD = AB = 18.
169. 86. Значит, MC = 18.
170. 87. Теперь мы можем найти BC.
171. 88. BC = BM + MC = 18 + 18 = 36.
172. 89. Так как AD = BC, то AD = 36.
173. 90. Периметр параллелограмма P_ABCD = 2 * (AB + AD).
174. 91. P_ABCD = 2 * (18 + 36).
175. 92. P_ABCD = 2 * 54.
176. 93. P_ABCD = 108.

Ответ:

Периметр параллелограмма ABCD равен 108.

Задача 2

Дано:

Параллелограмм ABCD.

Сторона AB = 35.

AM - биссектриса угла A.

DM - биссектриса угла D.

Найти:

Периметр параллелограмма ABCD (P_ABCD).

Решение:

1. Так как ABCD - параллелограмм, то AD || BC.
2. AM - биссектриса угла A, значит, Угол BAM = Угол MAD.
3. DM - биссектриса угла D, значит, Угол ADM = Угол MDC.