Задача 1.
Лист бумаги расчерчен на клетки со стороной 1 см.
1) Нарисуй по клеткам прямоугольник, который содержит все отмеченные клетки и имеет периметр 18 см.
2) Найди площадь этого прямоугольника. Ответ дай в квадратных сантиметрах.
Решение:
Пункт 1: Нарисовать прямоугольник.
Сначала определим координаты отмеченных клеток. Пусть нижний левый угол сетки будет началом координат (0,0).
Отмеченные клетки находятся в следующих позициях (считая от нижнего левого угла):
- Первая клетка (слева): (3, 3)
- Вторая клетка (посередине): (5, 5)
- Третья клетка (справа): (7, 3)
Чтобы прямоугольник содержал все эти клетки, его левая граница должна быть не правее самой левой отмеченной клетки, а правая граница — не левее самой правой. Аналогично для верхней и нижней границ.
- Минимальная координата по X: 3
- Максимальная координата по X: 7
- Минимальная координата по Y: 3
- Максимальная координата по Y: 5
Таким образом, минимальная ширина прямоугольника должна быть \(7 - 3 + 1 = 5\) клеток (от 3 до 7 включительно). Минимальная высота должна быть \(5 - 3 + 1 = 3\) клетки (от 3 до 5 включительно).
Теперь нам нужно найти такой прямоугольник, который содержит эти клетки и имеет периметр 18 см. Так как сторона клетки 1 см, то периметр в сантиметрах равен периметру в клетках.
Формула периметра прямоугольника: \(P = 2 \cdot (a + b)\), где \(a\) — длина, \(b\) — ширина.
Нам дано \(P = 18\) см.
Значит, \(18 = 2 \cdot (a + b)\).
Разделим обе части на 2: \(9 = a + b\).
Теперь нам нужно найти такие целые числа \(a\) и \(b\), которые в сумме дают 9, и при этом \(a \ge 5\) (минимальная ширина) и \(b \ge 3\) (минимальная высота).
Возможные пары \((a, b)\) для \(a + b = 9\):
- (1, 8) - не подходит, так как \(1 < 5\) и \(1 < 3\)
- (2, 7) - не подходит, так как \(2 < 5\) и \(2 < 3\)
- (3, 6) - подходит, так как \(3 \ge 3\) и \(6 \ge 5\). (Ширина 6, высота 3)
- (4, 5) - подходит, так как \(4 \ge 3\) и \(5 \ge 5\). (Ширина 5, высота 4)
- (5, 4) - подходит, так как \(5 \ge 5\) и \(4 \ge 3\). (Ширина 5, высота 4)
- (6, 3) - подходит, так как \(6 \ge 5\) и \(3 \ge 3\). (Ширина 6, высота 3)
- (7, 2) - не подходит, так как \(2 < 3\)
- (8, 1) - не подходит, так как \(1 < 3\)
У нас есть два варианта прямоугольника, которые подходят по размерам и периметру:
Вариант 1: Ширина 6 клеток, высота 3 клетки.
Вариант 2: Ширина 5 клеток, высота 4 клетки.
Оба варианта содержат все отмеченные клетки. Например, если мы возьмем прямоугольник шириной 5 клеток и высотой 4 клетки, то он может быть расположен так, чтобы его левая граница была на X=3, а правая на X=7 (ширина 5 клеток). Нижняя граница на Y=3, а верхняя на Y=6 (высота 4 клетки). Этот прямоугольник содержит все отмеченные клетки.
Нарисуем один из таких прямоугольников. Например, прямоугольник со сторонами 5 см и 4 см.
Его можно нарисовать, начиная от клетки (3,3) и заканчивая клеткой (7,6).
Пункт 2: Найти площадь этого прямоугольника.
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: \(S = a \cdot b\).
Если мы выбрали прямоугольник со сторонами 5 см и 4 см:
\(S = 5 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 20 \text{ см}^2\).
Если мы выбрали прямоугольник со сторонами 6 см и 3 см:
\(S = 6 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 18 \text{ см}^2\).
Оба варианта подходят по условиям задачи. Обычно в таких задачах подразумевается, что есть только один правильный ответ, но здесь их два. Выберем один из них, например, прямоугольник со сторонами 5 см и 4 см, так как он минимально охватывает отмеченные точки по ширине.
Ответ:
1) На рисунке ниже показан прямоугольник, который содержит все отмеченные клетки и имеет периметр 18 см. Его стороны равны 5 см и 4 см.
2) Площадь этого прямоугольника равна 20 квадратных сантиметров.
Рисунок (для тетради):
Нарисуйте сетку из клеток. Отметьте три клетки крестиками, как на исходном изображении.
Затем нарисуйте прямоугольник, который начинается от левой границы отмеченной клетки (X=3) и заканчивается на правой границе отмеченной клетки (X=7). Это будет ширина 5 клеток.
Нижняя граница прямоугольника должна быть на уровне нижней отмеченной клетки (Y=3). Верхняя граница должна быть на уровне Y=6 (чтобы высота была 4 клетки).
Вот как это будет выглядеть схематично:
Y
^
|
6 +-------+-------+-------+-------+-------+
| | | | | |
5 +-------+-------+-------+-------+-------+
| | X | | | |
4 +-------+-------+-------+-------+-------+
| | | | | |
3 +-------+---X---+-------+---X---+-------+
| | | | | |
2 +-------+-------+-------+-------+-------+
| | | | | |
1 +-------+-------+-------+-------+-------+
+----------------------------------------> X
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Прямоугольник будет охватывать клетки от (3,3) до (7,6).
Ширина: \(7 - 3 + 1 = 5\) клеток.
Высота: \(6 - 3 + 1 = 4\) клетки.
Периметр: \(2 \cdot (5 + 4) = 2 \cdot 9 = 18\) см.
Площадь: \(5 \cdot 4 = 20\) см\(^2\).