ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
Задача 1.
Стержень, находящийся в ящике с гладкими дном и стенками, составляет угол 45° с вертикалью (см. рисунок). К середине стержня подвешен на нити шар массой 3 кг. Каков модуль горизонтальной составляющей силы упругости \(N\), действующей на нижний конец стержня со стороны ящика? Массой стержня пренебречь.
Решение:
1. Нарисуем все силы, действующие на стержень.
- Сила тяжести шара \(mg\), направленная вертикально вниз, приложена к середине стержня.
- Сила реакции опоры \(N_1\) со стороны дна ящика, направленная вертикально вверх, приложена к нижнему концу стержня.
- Сила реакции опоры \(N_2\) со стороны стенки ящика, направленная горизонтально, приложена к нижнему концу стержня. Это и есть искомая сила \(N\).
- Сила реакции опоры \(N_3\) со стороны верхней стенки ящика, перпендикулярная стержню, приложена к верхнему концу стержня.
2. Условие равновесия стержня: сумма моментов всех сил относительно любой точки должна быть равна нулю. Выберем точку опоры в верхнем конце стержня, чтобы исключить \(N_3\).
3. Пусть длина стержня будет \(L\). Тогда сила \(mg\) приложена на расстоянии \(L/2\) от верхнего конца. Силы \(N_1\) и \(N_2\) приложены на расстоянии \(L\) от верхнего конца.
4. Угол стержня с вертикалью равен \(\alpha = 45^\circ\).
5. Моменты сил относительно верхнего конца стержня:
- Момент силы тяжести \(mg\): \(M_{mg} = mg \cdot (L/2) \cdot \sin \alpha\). Этот момент стремится повернуть стержень по часовой стрелке.
- Момент силы \(N_1\): \(M_{N_1} = N_1 \cdot L \cdot \sin \alpha\). Этот момент стремится повернуть стержень против часовой стрелки.
- Момент силы \(N_2\) (искомая \(N\)): \(M_{N_2} = N_2 \cdot L \cdot \cos \alpha\). Этот момент стремится повернуть стержень против часовой стрелки.
6. Уравнение моментов: \[M_{mg} - M_{N_1} - M_{N_2} = 0\] \[mg \cdot (L/2) \cdot \sin \alpha - N_1 \cdot L \cdot \sin \alpha - N_2 \cdot L \cdot \cos \alpha = 0\] Разделим все на \(L\): \[mg \cdot (1/2) \cdot \sin \alpha - N_1 \cdot \sin \alpha - N_2 \cdot \cos \alpha = 0\]
7. Также рассмотрим условие равновесия по осям. По вертикали: \(N_1 - mg = 0 \Rightarrow N_1 = mg\).
8. Подставим \(N_1 = mg\) в уравнение моментов: \[mg \cdot (1/2) \cdot \sin \alpha - mg \cdot \sin \alpha - N_2 \cdot \cos \alpha = 0\] \[-mg \cdot (1/2) \cdot \sin \alpha - N_2 \cdot \cos \alpha = 0\] Здесь есть ошибка в знаках моментов. Давайте пересмотрим.
Перерисуем силы и их плечи. Пусть верхний конец стержня - точка O. Сила \(mg\) приложена в точке C (середина стержня). Плечо силы \(mg\) относительно O: \(r_{mg} = (L/2) \sin \alpha\). Момент \(M_{mg}\) по часовой стрелке. Сила \(N_1\) приложена в точке B (нижний конец). Плечо силы \(N_1\) относительно O: \(r_{N_1} = L \sin \alpha\). Момент \(M_{N_1}\) против часовой стрелки. Сила \(N_2\) приложена в точке B. Плечо силы \(N_2\) относительно O: \(r_{N_2} = L \cos \alpha\). Момент \(M_{N_2}\) против часовой стрелки.
Уравнение моментов относительно верхнего конца стержня: \[M_{mg} - M_{N_1} - M_{N_2} = 0\] \[mg \cdot (L/2) \sin \alpha - N_1 \cdot L \sin \alpha - N_2 \cdot L \cos \alpha = 0\]
Из условия равновесия по вертикали: \(N_1 - mg = 0 \Rightarrow N_1 = mg\).
Подставим \(N_1 = mg\) в уравнение моментов: \[mg \cdot (L/2) \sin \alpha - mg \cdot L \sin \alpha - N_2 \cdot L \cos \alpha = 0\] Разделим на \(L\): \[mg \cdot (1/2) \sin \alpha - mg \sin \alpha - N_2 \cos \alpha = 0\] \[-mg \cdot (1/2) \sin \alpha - N_2 \cos \alpha = 0\] Это означает, что \(N_2\) должна быть отрицательной, что неверно.
Давайте выберем другую точку для расчета моментов. Например, нижний конец стержня. Пусть нижний конец стержня - точка B. Сила \(mg\) приложена в точке C. Плечо силы \(mg\) относительно B: \(r_{mg} = (L/2) \sin \alpha\). Момент \(M_{mg}\) против часовой стрелки. Сила \(N_3\) (от верхней стенки) приложена в точке A (верхний конец). Плечо силы \(N_3\) относительно B: \(r_{N_3} = L \sin \alpha\). Момент \(M_{N_3}\) по часовой стрелке.
Это тоже не очень удобно, так как \(N_3\) неизвестна.
Давайте вернемся к первому подходу, но внимательнее с направлениями моментов. Выберем верхний конец стержня как точку вращения. Сила \(mg\) создает момент по часовой стрелке. Сила \(N_1\) создает момент против часовой стрелки. Сила \(N_2\) создает момент против часовой стрелки.
Уравнение моментов: \[mg \cdot (L/2) \sin \alpha - N_1 \cdot L \sin \alpha - N_2 \cdot L \cos \alpha = 0\]
Из условия равновесия по вертикали: \(N_1 - mg = 0 \Rightarrow N_1 = mg\).
Подставим \(N_1 = mg\): \[mg \cdot (L/2) \sin \alpha - mg \cdot L \sin \alpha - N_2 \cdot L \cos \alpha = 0\] \[-mg \cdot (L/2) \sin \alpha - N_2 \cdot L \cos \alpha = 0\] \[N_2 \cdot L \cos \alpha = -mg \cdot (L/2) \sin \alpha\] \[N_2 = -mg \cdot \frac{\sin \alpha}{2 \cos \alpha} = -mg \cdot \frac{1}{2} \tan \alpha\] Знак минус указывает на то, что направление \(N_2\) было выбрано неверно. На рисунке \(N_2\) направлена влево. Если она должна быть вправо, то момент будет по часовой стрелке.
Давайте посмотрим на рисунок. Сила \(N\) (которую мы обозначили как \(N_2\)) направлена влево. Если стержень находится в равновесии, то сумма моментов должна быть равна нулю. Момент от \(mg\) относительно верхнего конца: \(M_{mg} = mg \cdot (L/2) \sin \alpha\). (По часовой стрелке) Момент от \(N_1\) относительно верхнего конца: \(M_{N_1} = N_1 \cdot L \sin \alpha\). (Против часовой стрелки) Момент от \(N_2\) относительно верхнего конца: \(M_{N_2} = N_2 \cdot L \cos \alpha\). (Против часовой стрелки)
Уравнение моментов: \[mg \cdot (L/2) \sin \alpha - N_1 \cdot L \sin \alpha - N_2 \cdot L \cos \alpha = 0\]
Из условия равновесия по вертикали: \(N_1 - mg = 0 \Rightarrow N_1 = mg\).
Подставляем \(N_1\): \[mg \cdot (L/2) \sin \alpha - mg \cdot L \sin \alpha - N_2 \cdot L \cos \alpha = 0\] \[-mg \cdot (L/2) \sin \alpha - N_2 \cdot L \cos \alpha = 0\] \[N_2 \cdot L \cos \alpha = -mg \cdot (L/2) \sin \alpha\] \[N_2 = -mg \cdot \frac{\sin \alpha}{2 \cos \alpha} = -mg \cdot \frac{1}{2} \tan \alpha\]
Это означает, что сила \(N_2\) должна быть направлена в противоположную сторону, то есть вправо. Но на рисунке она направлена влево.
Давайте пересмотрим силы, действующие на нижний конец стержня. На нижний конец стержня действуют: 1. Сила реакции дна \(N_1\) (вертикально вверх). 2. Сила реакции стенки \(N_2\) (горизонтально влево, как на рисунке).
Если \(N_2\) направлена влево, то ее момент относительно верхнего конца будет по часовой стрелке.
Тогда уравнение моментов: \[mg \cdot (L/2) \sin \alpha + N_2 \cdot L \cos \alpha - N_1 \cdot L \sin \alpha = 0\]
Из равновесия по вертикали: \(N_1 = mg\).
Подставляем: \[mg \cdot (L/2) \sin \alpha + N_2 \cdot L \cos \alpha - mg \cdot L \sin \alpha = 0\] \[N_2 \cdot L \cos \alpha = mg \cdot L \sin \alpha - mg \cdot (L/2) \sin \alpha\] \[N_2 \cdot L \cos \alpha = mg \cdot (L/2) \sin \alpha\] \[N_2 = mg \cdot \frac{(L/2) \sin \alpha}{L \cos \alpha}\] \[N_2 = mg \cdot \frac{1}{2} \tan \alpha\]
Теперь все сходится. \(N_2\) положительна, значит, направление, указанное на рисунке (влево), верно.
Дано: Масса шара \(m = 3\) кг. Угол \(\alpha = 45^\circ\). Ускорение свободного падения \(g \approx 9.8\) м/с\(^2\).
Вычисляем \(N_2\): \[N_2 = 3 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \frac{1}{2} \tan 45^\circ\] \[N_2 = 29.4 \text{ Н} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1\] \[N_2 = 14.7 \text{ Н}\]
Ответ: 14.7 Н.
Задача 2.
Невесомый стержень \(AB\) с двумя малыми грузиками массами \(m_1 = 100\) г и \(m_2 = 200\) г, расположенными в точках \(C\) и \(B\) соответственно, шарнирно закреплён в точке \(A\). Груз массой \(M = 200\) г подвешен к идеальному блоку за невесомую и нерастяжимую нить, другой конец которой соединён с нижним концом стержня, как показано на рисунке. Вся система находится в равновесии, если стержень отклонён от вертикали на угол \(\alpha = 45^\circ\), а нить составляет угол с вертикалью, равный \(\beta = 45^\circ\). Расстояние \(AC = b = 25\) см. Определите длину \(l\) стержня \(AB\), пренебрегая трением в шарнире. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на груз \(M\) и стержень.
Решение:
1. Переведем все массы в килограммы и расстояния в метры: \(m_1 = 100\) г \( = 0.1\) кг \(m_2 = 200\) г \( = 0.2\) кг \(M = 200\) г \( = 0.2\) кг \(b = 25\) см \( = 0.25\) м
2. Нарисуем силы, действующие на стержень \(AB\). Точка \(A\) - шарнир.
- Сила тяжести грузика \(m_1\): \(F_1 = m_1 g\), приложена в точке \(C\), направлена вертикально вниз.
- Сила тяжести грузика \(m_2\): \(F_2 = m_2 g\), приложена в точке \(B\), направлена вертикально вниз.
- Сила натяжения нити \(T\), приложенная в точке \(B\). Направление нити составляет угол \(\beta = 45^\circ\) с вертикалью.
- Силы реакции шарнира в точке \(A\), которые мы не будем учитывать, так как будем брать моменты относительно точки \(A\).
3. Нарисуем силы, действующие на груз \(M\).
- Сила тяжести груза \(M\): \(F_M = Mg\), направлена вертикально вниз.
- Сила натяжения нити \(T\), направленная вертикально вверх.
4. Условие равновесия груза \(M\): \[T - Mg = 0 \Rightarrow T = Mg\] \[T = 0.2 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 1.96 \text{ Н}\]
5. Условие равновесия стержня \(AB\). Сумма моментов сил относительно точки \(A\) должна быть равна нулю.
6. Определим плечи сил относительно точки \(A\). Стержень \(AB\) отклонен от вертикали на угол \(\alpha = 45^\circ\).
- Плечо силы \(F_1 = m_1 g\) (приложена в \(C\)): Горизонтальное расстояние от \(A\) до линии действия \(F_1\) равно \(AC \cdot \sin \alpha = b \sin \alpha\). Момент \(M_1 = m_1 g \cdot b \sin \alpha\). (По часовой стрелке)
- Плечо силы \(F_2 = m_2 g\) (приложена в \(B\)): Горизонтальное расстояние от \(A\) до линии действия \(F_2\) равно \(AB \cdot \sin \alpha = l \sin \alpha\). Момент \(M_2 = m_2 g \cdot l \sin \alpha\). (По часовой стрелке)
- Плечо силы натяжения нити \(T\) (приложена в \(B\)): Сила \(T\) направлена под углом \(\beta\) к вертикали. Угол между стержнем \(AB\) и нитью \(TB\) равен \(\alpha + \beta\). Плечо силы \(T\) относительно \(A\) равно \(l \cdot \sin(\text{угол между стержнем и нитью})\). Угол между стержнем и нитью: Вертикаль проходит через \(A\). Стержень отклонен на \(\alpha\) от вертикали. Нить