Система 1
Дана система уравнений: \[ \begin{cases} x - y = 1 \\ y + 3x = 27 \end{cases} \]
Решим эту систему методом подстановки.
Из первого уравнения выразим \(x\): \[ x = 1 + y \]
Теперь подставим это выражение для \(x\) во второе уравнение: \[ y + 3(1 + y) = 27 \]
Раскроем скобки: \[ y + 3 + 3y = 27 \]
Приведем подобные слагаемые: \[ 4y + 3 = 27 \]
Вычтем 3 из обеих частей уравнения: \[ 4y = 27 - 3 \] \[ 4y = 24 \]
Разделим обе части на 4: \[ y = \frac{24}{4} \] \[ y = 6 \]
Теперь, когда мы нашли значение \(y\), подставим его в выражение для \(x\): \[ x = 1 + y \] \[ x = 1 + 6 \] \[ x = 7 \]
Итак, решение первой системы: \[ \begin{cases} x = 7 \\ y = 6 \end{cases} \]
Система 2
Дана система уравнений: \[ \begin{cases} x - 3y = 15 \\ 2x + 5y = -3 \end{cases} \]
Решим эту систему методом подстановки.
Из первого уравнения выразим \(x\): \[ x = 15 + 3y \]
Теперь подставим это выражение для \(x\) во второе уравнение: \[ 2(15 + 3y) + 5y = -3 \]
Раскроем скобки: \[ 30 + 6y + 5y = -3 \]
Приведем подобные слагаемые: \[ 30 + 11y = -3 \]
Вычтем 30 из обеих частей уравнения: \[ 11y = -3 - 30 \] \[ 11y = -33 \]
Разделим обе части на 11: \[ y = \frac{-33}{11} \] \[ y = -3 \]
Теперь, когда мы нашли значение \(y\), подставим его в выражение для \(x\): \[ x = 15 + 3y \] \[ x = 15 + 3(-3) \] \[ x = 15 - 9 \] \[ x = 6 \]
Итак, решение второй системы: \[ \begin{cases} x = 6 \\ y = -3 \end{cases} \]
Система 3
Дана система уравнений: \[ \begin{cases} x - 2y = -2 \\ 2x + 5y = 5 \end{cases} \]
Решим эту систему методом подстановки.
Из первого уравнения выразим \(x\): \[ x = -2 + 2y \]
Теперь подставим это выражение для \(x\) во второе уравнение: \[ 2(-2 + 2y) + 5y = 5 \]
Раскроем скобки: \[ -4 + 4y + 5y = 5 \]
Приведем подобные слагаемые: \[ -4 + 9y = 5 \]
Прибавим 4 к обеим частям уравнения: \[ 9y = 5 + 4 \] \[ 9y = 9 \]
Разделим обе части на 9: \[ y = \frac{9}{9} \] \[ y = 1 \]
Теперь, когда мы нашли значение \(y\), подставим его в выражение для \(x\): \[ x = -2 + 2y \] \[ x = -2 + 2(1) \] \[ x = -2 + 2 \] \[ x = 0 \]
Итак, решение третьей системы: \[ \begin{cases} x = 0 \\ y = 1 \end{cases} \]