Вычисление циркуляции векторного поля вдоль линии L

Вычислить циркуляцию векторного поля \(\vec{a} = x^3 \vec{i} - z^2 \vec{j} + y \vec{k}\) вдоль линии \(L: x = \cos t, y = \sin t, z = 2 \cos t\). Для вычисления циркуляции векторного поля \(\vec{a}\) вдоль линии \(L\) мы используем формулу криволинейного интеграла второго рода: \[ \text{Циркуляция} = \oint_L \vec{a} \cdot d\vec{r} \] где \(\vec{a} = P \vec{i} + Q \vec{j} + R \vec{k}\) и \(d\vec{r} = dx \vec{i} + dy \vec{j} + dz \vec{k}\). Тогда интеграл можно записать как: \[ \oint_L (P \, dx + Q \, dy + R \, dz) \] В нашем случае: \(\vec{a} = x^3 \vec{i} - z^2 \vec{j} + y \vec{k}\) Значит, \(P = x^3\), \(Q = -z^2\), \(R = y\). Линия \(L\) задана параметрически: \(x = \cos t\) \(y = \sin t\) \(z = 2 \cos t\) Для вычисления \(dx, dy, dz\) продифференцируем эти выражения по \(t\): \(dx = \frac{dx}{dt} dt = -\sin t \, dt\) \(dy = \frac{dy}{dt} dt = \cos t \, dt\) \(dz = \frac{dz}{dt} dt = -2 \sin t \, dt\) Теперь подставим \(x, y, z\) и \(dx, dy, dz\) в выражение для циркуляции. Заметим, что линия \(L\) является замкнутой, так как при изменении \(t\) от \(0\) до \(2\pi\) точки \((x, y, z)\) возвращаются в исходное положение. Например, при \(t=0\): \(x=1, y=0, z=2\). При \(t=2\pi\): \(x=1, y=0, z=2\). Поэтому пределы интегрирования будут от \(0\) до \(2\pi\). Подставляем: \(P = x^3 = (\cos t)^3 = \cos^3 t\) \(Q = -z^2 = -(2 \cos t)^2 = -4 \cos^2 t\) \(R = y = \sin t\) Теперь собираем интеграл: \[ \oint_L (P \, dx + Q \, dy + R \, dz) = \int_0^{2\pi} (\cos^3 t (-\sin t \, dt) + (-4 \cos^2 t) (\cos t \, dt) + (\sin t) (-2 \sin t \, dt)) \] \[ = \int_0^{2\pi} (-\cos^3 t \sin t - 4 \cos^3 t - 2 \sin^2 t) \, dt \] Разделим интеграл на три части: \[ I_1 = \int_0^{2\pi} -\cos^3 t \sin t \, dt \] \[ I_2 = \int_0^{2\pi} -4 \cos^3 t \, dt \] \[ I_3 = \int_0^{2\pi} -2 \sin^2 t \, dt \] Вычислим каждый интеграл по отдельности. 1. Интеграл \(I_1\): \[ I_1 = \int_0^{2\pi} -\cos^3 t \sin t \, dt \] Сделаем замену переменной: \(u = \cos t\), тогда \(du = -\sin t \, dt\). Когда \(t=0\), \(u = \cos 0 = 1\). Когда \(t=2\pi\), \(u = \cos (2\pi) = 1\). Так как пределы интегрирования совпадают, значение интеграла равно нулю. \[ I_1 = \int_1^1 u^3 \, du = 0 \] 2. Интеграл \(I_2\): \[ I_2 = \int_0^{2\pi} -4 \cos^3 t \, dt \] Используем формулу понижения степени для \(\cos^3 t\): \(\cos^3 t = \cos t (1 - \sin^2 t)\). \[ I_2 = -4 \int_0^{2\pi} \cos t (1 - \sin^2 t) \, dt \] \[ I_2 = -4 \left( \int_0^{2\pi} \cos t \, dt - \int_0^{2\pi} \cos t \sin^2 t \, dt \right) \] Первый интеграл: \(\int_0^{2\pi} \cos t \, dt = [\sin t]_0^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin(0) = 0 - 0 = 0\). Второй интеграл: \(\int_0^{2\pi} \cos t \sin^2 t \, dt\). Сделаем замену \(v = \sin t\), \(dv = \cos t \, dt\). Когда \(t=0\), \(v = \sin 0 = 0\). Когда \(t=2\pi\), \(v = \sin (2\pi) = 0\). Так как пределы интегрирования совпадают, значение этого интеграла равно нулю. \[ \int_0^0 v^2 \, dv = 0 \] Таким образом, \(I_2 = -4 (0 - 0) = 0\). 3. Интеграл \(I_3\): \[ I_3 = \int_0^{2\pi} -2 \sin^2 t \, dt \] Используем формулу понижения степени для \(\sin^2 t\): \(\sin^2 t = \frac{1 - \cos(2t)}{2}\). \[ I_3 = -2 \int_0^{2\pi} \frac{1 - \cos(2t)}{2} \, dt \] \[ I_3 = - \int_0^{2\pi} (1 - \cos(2t)) \, dt \] \[ I_3 = - \left( \int_0^{2\pi} 1 \, dt - \int_0^{2\pi} \cos(2t) \, dt \right) \] Первый интеграл: \(\int_0^{2\pi} 1 \, dt = [t]_0^{2\pi} = 2\pi - 0 = 2\pi\). Второй интеграл: \(\int_0^{2\pi} \cos(2t) \, dt = \left[ \frac{\sin(2t)}{2} \right]_0^{2\pi} = \frac{\sin(4\pi)}{2} - \frac{\sin(0)}{2} = 0 - 0 = 0\). Таким образом, \(I_3 = - (2\pi - 0) = -2\pi\). Теперь сложим все части: \[ \text{Циркуляция} = I_1 + I_2 + I_3 = 0 + 0 + (-2\pi) = -2\pi \] Ответ: Циркуляция векторного поля вдоль заданной линии равна \(-2\pi\). Для записи в тетрадь: 1. Запишем формулу для циркуляции: \[ \text{Циркуляция} = \oint_L \vec{a} \cdot d\vec{r} = \oint_L (P \, dx + Q \, dy + R \, dz) \] 2. Определим компоненты векторного поля \(\vec{a} = x^3 \vec{i} - z^2 \vec{j} + y \vec{k}\): \(P = x^3\) \(Q = -z^2\) \(R = y\) 3. Запишем параметрические уравнения линии \(L\): \(x = \cos t\) \(y = \sin t\) \(z = 2 \cos t\) 4. Найдем дифференциалы \(dx, dy, dz\): \(dx = -\sin t \, dt\) \(dy = \cos t \, dt\) \(dz = -2 \sin t \, dt\) 5. Подставим \(x, y, z\) и \(dx, dy, dz\) в формулу циркуляции. Пределы интегрирования для замкнутой кривой будут от \(0\) до \(2\pi\). \[ \text{Циркуляция} = \int_0^{2\pi} (\cos^3 t (-\sin t \, dt) + (-4 \cos^2 t) (\cos t \, dt) + (\sin t) (-2 \sin t \, dt)) \] \[ = \int_0^{2\pi} (-\cos^3 t \sin t - 4 \cos^3 t - 2 \sin^2 t) \, dt \] 6. Разделим интеграл на три части и вычислим каждую: * \(\int_0^{2\pi} -\cos^3 t \sin t \, dt = 0\) (так как при замене \(u = \cos t\) пределы интегрирования становятся от \(1\) до \(1\)). * \(\int_0^{2\pi} -4 \cos^3 t \, dt = -4 \int_0^{2\pi} \cos t (1 - \sin^2 t) \, dt = 0\) (так как \(\int_0^{2\pi} \cos t \, dt = 0\) и \(\int_0^{2\pi} \cos t \sin^2 t \, dt = 0\)). * \(\int_0^{2\pi} -2 \sin^2 t \, dt = -2 \int_0^{2\pi} \frac{1 - \cos(2t)}{2} \, dt = - \int_0^{2\pi} (1 - \cos(2t)) \, dt = - (2\pi - 0) = -2\pi\). 7. Сложим результаты: \[ \text{Циркуляция} = 0 + 0 - 2\pi = -2\pi \] Окончательный ответ: \(-2\pi\).