Решение:

Вычислить циркуляцию векторного поля \(\vec{a} = y^2 \vec{i} - x^2 \vec{j}\) по контуру \(L: x + y = -1; x = 0; y = 0\), применяя формулу Грина. Для вычисления циркуляции векторного поля \(\vec{a} = P \vec{i} + Q \vec{j}\) по замкнутому контуру \(L\) с помощью формулы Грина, мы используем следующее соотношение: \[ \oint_L (P \, dx + Q \, dy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dx \, dy \] где \(D\) - область, ограниченная контуром \(L\). В нашем случае: Векторное поле \(\vec{a} = y^2 \vec{i} - x^2 \vec{j}\). Значит, \(P = y^2\) и \(Q = -x^2\). Найдем частные производные: \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (y^2) = 2y \] \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (-x^2) = -2x \] Теперь подставим эти производные в формулу Грина: \[ \text{Циркуляция} = \iint_D (-2x - 2y) \, dx \, dy = -2 \iint_D (x + y) \, dx \, dy \] Далее нам нужно определить область \(D\), ограниченную контуром \(L\). Контур \(L\) задан тремя уравнениями: 1. \(x + y = -1\) (прямая линия) 2. \(x = 0\) (ось \(Oy\)) 3. \(y = 0\) (ось \(Ox\)) Эти три линии образуют треугольник в третьей четверти координатной плоскости. Найдем вершины этого треугольника: * Пересечение \(x = 0\) и \(y = 0\): точка \((0, 0)\). * Пересечение \(x = 0\) и \(x + y = -1\): подставляем \(x=0\) в \(x+y=-1\), получаем \(0+y=-1 \Rightarrow y=-1\). Точка \((0, -1)\). * Пересечение \(y = 0\) и \(x + y = -1\): подставляем \(y=0\) в \(x+y=-1\), получаем \(x+0=-1 \Rightarrow x=-1\). Точка \((-1, 0)\). Таким образом, область \(D\) - это треугольник с вершинами \((0, 0)\), \((0, -1)\) и \((-1, 0)\). Для интегрирования по этой области мы можем задать пределы интегрирования. Если мы интегрируем сначала по \(y\), а затем по \(x\): \(x\) изменяется от \(-1\) до \(0\). Для каждого \(x\), \(y\) изменяется от прямой \(x+y=-1\) (то есть \(y = -1 - x\)) до оси \(Ox\) (то есть \(y = 0\)). Однако, поскольку область находится в третьей четверти, \(y\) будет отрицательным. Правильнее будет сказать, что \(y\) изменяется от \(y = -1 - x\) до \(y = 0\). Но так как \(y\) отрицателен, то \(y\) изменяется от \(y = -1 - x\) до \(y = 0\). Или, если мы хотим, чтобы нижний предел был меньше верхнего, мы можем интегрировать от \(y = -1 - x\) до \(y = 0\). Давайте нарисуем область. Вершины: \((0,0)\), \((-1,0)\), \((0,-1)\). Прямая \(x+y=-1\) проходит через \((-1,0)\) и \((0,-1)\). Для фиксированного \(x\) от \(-1\) до \(0\), \(y\) изменяется от \(y = -1 - x\) до \(0\). Итак, интеграл будет: \[ \text{Циркуляция} = -2 \int_{-1}^{0} \int_{-1-x}^{0} (x + y) \, dy \, dx \] Вычислим внутренний интеграл по \(y\): \[ \int_{-1-x}^{0} (x + y) \, dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_{-1-x}^{0} \] \[ = \left( x \cdot 0 + \frac{0^2}{2} \right) - \left( x(-1-x) + \frac{(-1-x)^2}{2} \right) \] \[ = 0 - \left( -x - x^2 + \frac{(1+x)^2}{2} \right) \] \[ = - \left( -x - x^2 + \frac{1 + 2x + x^2}{2} \right) \] \[ = - \left( \frac{-2x - 2x^2 + 1 + 2x + x^2}{2} \right) \] \[ = - \left( \frac{1 - x^2}{2} \right) = \frac{x^2 - 1}{2} \] Теперь вычислим внешний интеграл по \(x\): \[ \text{Циркуляция} = -2 \int_{-1}^{0} \frac{x^2 - 1}{2} \, dx \] \[ = - \int_{-1}^{0} (x^2 - 1) \, dx \] \[ = - \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{-1}^{0} \] \[ = - \left( \left( \frac{0^3}{3} - 0 \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} - (-1) \right) \right) \] \[ = - \left( 0 - \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) \right) \] \[ = - \left( - \left( \frac{2}{3} \right) \right) \] \[ = \frac{2}{3} \] Важно проверить ориентацию контура. Формула Грина применяется для контура, ориентированного против часовой стрелки. Наш контур: От \((0,0)\) до \((-1,0)\) (вдоль оси \(Ox\), \(y=0\), \(x\) от \(0\) до \(-1\)). От \((-1,0)\) до \((0,-1)\) (вдоль прямой \(x+y=-1\)). От \((0,-1)\) до \((0,0)\) (вдоль оси \(Oy\), \(x=0\), \(y\) от \(-1\) до \(0\)). Если мы идем от \((0,0)\) к \((-1,0)\) (влево), затем от \((-1,0)\) к \((0,-1)\) (вниз-вправо), затем от \((0,-1)\) к \((0,0)\) (вверх), то это движение по часовой стрелке. Если контур ориентирован по часовой стрелке, то результат интеграла будет иметь противоположный знак. Поскольку мы использовали пределы интегрирования, которые соответствуют области, а не направлению обхода, результат будет для обхода против часовой стрелки. Если требуется обход по часовой стрелке, то нужно умножить результат на \(-1\). В задаче не указано направление обхода, поэтому по умолчанию используется положительное направление (против часовой стрелки). Наш расчет соответствует этому. Ответ: Циркуляция векторного поля по заданному контуру, применяя формулу Грина, равна \(\frac{2}{3}\). Для записи в тетрадь: 1. Запишем формулу Грина: \[ \oint_L (P \, dx + Q \, dy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dx \, dy \] 2. Определим компоненты векторного поля \(\vec{a} = y^2 \vec{i} - x^2 \vec{j}\): \(P = y^2\) \(Q = -x^2\) 3. Найдем частные производные: \[ \frac{\partial P}{\partial y} = 2y \] \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = -2x \] 4. Подставим производные в формулу Грина: \[ \text{Циркуляция} = \iint_D (-2x - 2y) \, dx \, dy = -2 \iint_D (x + y) \, dx \, dy \] 5. Определим область интегрирования \(D\). Контур \(L\) образован линиями \(x + y = -1\), \(x = 0\), \(y = 0\). Это треугольник с вершинами \((0, 0)\), \((-1, 0)\), \((0, -1)\). 6. Установим пределы интегрирования для двойного интеграла. Для \(x\) от \(-1\) до \(0\), для \(y\) от \(y = -1 - x\) до \(y = 0\). \[ \text{Циркуляция} = -2 \int_{-1}^{0} \left( \int_{-1-x}^{0} (x + y) \, dy \right) \, dx \] 7. Вычислим внутренний интеграл по \(y\): \[ \int_{-1-x}^{0} (x + y) \, dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_{-1-x}^{0} \] \[ = (0) - \left( x(-1-x) + \frac{(-1-x)^2}{2} \right) \] \[ = - \left( -x - x^2 + \frac{1 + 2x + x^2}{2} \right) \] \[ = - \left( \frac{-2x - 2x^2 + 1 + 2x + x^2}{2} \right) = \frac{x^2 - 1}{2} \] 8. Вычислим внешний интеграл по \(x\): \[ \text{Циркуляция} = -2 \int_{-1}^{0} \frac{x^2 - 1}{2} \, dx \] \[ = - \int_{-1}^{0} (x^2 - 1) \, dx \] \[ = - \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{-1}^{0} \] \[ = - \left( \left( \frac{0^3}{3} - 0 \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} - (-1) \right) \right) \] \[ = - \left( 0 - \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) \right) \] \[ = - \left( - \frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3} \] Окончательный ответ: \(\frac{2}{3}\).