Вычисление работы силового поля вдоль полуокружности

Вычислить работу силового поля \(\vec{F} = x \vec{i} + y \vec{j}\) вдоль кривой \(L: x^2 + y^2 = 4 (y \ge 0)\) от точки \(M(2;0)\) до точки \(N(-2;0)\). Работа силового поля \(\vec{F}\) вдоль кривой \(L\) вычисляется как криволинейный интеграл второго рода: \[ A = \int_L \vec{F} \cdot d\vec{r} \] где \(\vec{F} = P \vec{i} + Q \vec{j}\) и \(d\vec{r} = dx \vec{i} + dy \vec{j}\). Тогда: \[ A = \int_L (P \, dx + Q \, dy) \] В нашем случае: \(\vec{F} = x \vec{i} + y \vec{j}\) Значит, \(P = x\) и \(Q = y\). Кривая \(L\) задана уравнением \(x^2 + y^2 = 4\) при условии \(y \ge 0\). Это верхняя полуокружность радиуса \(R=2\) с центром в начале координат. Начальная точка \(M(2;0)\) и конечная точка \(N(-2;0)\). Мы можем параметризовать эту полуокружность. Пусть \(x = R \cos t\) и \(y = R \sin t\). Так как \(R=2\), то: \(x = 2 \cos t\) \(y = 2 \sin t\) Найдем дифференциалы \(dx\) и \(dy\): \(dx = \frac{dx}{dt} dt = -2 \sin t \, dt\) \(dy = \frac{dy}{dt} dt = 2 \cos t \, dt\) Теперь определим пределы изменения параметра \(t\). В точке \(M(2;0)\): \(2 = 2 \cos t \Rightarrow \cos t = 1 \Rightarrow t = 0\) \(0 = 2 \sin t \Rightarrow \sin t = 0\) Значит, для точки \(M\), \(t_M = 0\). В точке \(N(-2;0)\): \(-2 = 2 \cos t \Rightarrow \cos t = -1 \Rightarrow t = \pi\) \(0 = 2 \sin t \Rightarrow \sin t = 0\) Значит, для точки \(N\), \(t_N = \pi\). Теперь подставим \(x, y, dx, dy\) и пределы интегрирования в формулу для работы: \[ A = \int_0^{\pi} ( (2 \cos t) (-2 \sin t \, dt) + (2 \sin t) (2 \cos t \, dt) ) \] \[ A = \int_0^{\pi} (-4 \cos t \sin t \, dt + 4 \sin t \cos t \, dt) \] \[ A = \int_0^{\pi} (0) \, dt \] \[ A = 0 \] Альтернативный способ решения: Заметим, что силовое поле \(\vec{F} = x \vec{i} + y \vec{j}\) является потенциальным. Для потенциального поля \(\vec{F} = P \vec{i} + Q \vec{j}\) должно выполняться условие \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\). В нашем случае: \(P = x \Rightarrow \frac{\partial P}{\partial y} = 0\) \(Q = y \Rightarrow \frac{\partial Q}{\partial x} = 0\) Так как \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = 0\), поле является потенциальным. Для потенциального поля работа не зависит от пути, а зависит только от начальной и конечной точек. Также, для потенциального поля существует скалярная функция \(\Phi(x,y)\) (потенциал), такая что \(\vec{F} = \nabla \Phi\), то есть \(P = \frac{\partial \Phi}{\partial x}\) и \(Q = \frac{\partial \Phi}{\partial y}\). Найдем потенциал \(\Phi(x,y)\): \(\frac{\partial \Phi}{\partial x} = x \Rightarrow \Phi(x,y) = \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1(y)\) \(\frac{\partial \Phi}{\partial y} = y \Rightarrow \Phi(x,y) = \int y \, dy = \frac{y^2}{2} + C_2(x)\) Сравнивая эти выражения, получаем \(\Phi(x,y) = \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} + C\). Мы можем взять \(C=0\), тогда \(\Phi(x,y) = \frac{x^2 + y^2}{2}\). Работа поля вычисляется как разность потенциалов в конечной и начальной точках: \[ A = \Phi(N) - \Phi(M) \] Точка \(M(2;0)\): \(\Phi(M) = \frac{2^2 + 0^2}{2} = \frac{4}{2} = 2\) Точка \(N(-2;0)\): \(\Phi(N) = \frac{(-2)^2 + 0^2}{2} = \frac{4}{2} = 2\) \[ A = \Phi(N) - \Phi(M) = 2 - 2 = 0 \] Оба метода дают одинаковый результат. Среди предложенных вариантов: * 0 * \(-\frac{\pi}{2}\) * \(-2\pi\) * \(\frac{\pi}{2}\) Правильный ответ: 0. Для записи в тетрадь: 1. Запишем формулу для работы силового поля: \[ A = \int_L \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_L (P \, dx + Q \, dy) \] 2. Определим компоненты векторного поля \(\vec{F} = x \vec{i} + y \vec{j}\): \(P = x\) \(Q = y\) 3. Проверим, является ли поле потенциальным: \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x) = 0 \] \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(y) = 0 \] Так как \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\), поле является потенциальным. 4. Для потенциального поля работа не зависит от пути и может быть найдена как разность потенциалов в конечной и начальной точках: \(A = \Phi(N) - \Phi(M)\). 5. Найдем потенциальную функцию \(\Phi(x,y)\): \[ \frac{\partial \Phi}{\partial x} = x \Rightarrow \Phi(x,y) = \frac{x^2}{2} + C_1(y) \] \[ \frac{\partial \Phi}{\partial y} = y \Rightarrow \Phi(x,y) = \frac{y^2}{2} + C_2(x) \] Объединяя, получаем \(\Phi(x,y) = \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2}\) (константу интегрирования можно принять равной нулю). 6. Вычислим потенциал в начальной точке \(M(2;0)\) и конечной точке \(N(-2;0)\): \[ \Phi(M) = \frac{2^2 + 0^2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ \Phi(N) = \frac{(-2)^2 + 0^2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] 7. Вычислим работу: \[ A = \Phi(N) - \Phi(M) = 2 - 2 = 0 \] Окончательный ответ: 0.