Решение:

Если дивергенция векторного поля \(a = P\vec{i} + Q\vec{j} + R\vec{k}\) вычисляется по формуле \(\text{div } a = \frac{dP}{dx} + \frac{dQ}{dy} + \frac{dR}{dz}\), то для векторного поля \(a = 2x\vec{i} - 3y\vec{j} + (z+x)\vec{k}\) она равна: В задаче дана формула для дивергенции, но она записана с использованием полных производных \(\frac{dP}{dx}\), \(\frac{dQ}{dy}\), \(\frac{dR}{dz}\). В контексте векторного анализа, когда компоненты поля зависят от нескольких переменных, используются частные производные. Правильная формула для дивергенции векторного поля \(\vec{a} = P(x,y,z)\vec{i} + Q(x,y,z)\vec{j} + R(x,y,z)\vec{k}\) выглядит так: \[ \text{div } \vec{a} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \] Будем использовать эту правильную формулу, так как компоненты поля зависят от нескольких переменных. Дано векторное поле: \(\vec{a} = 2x\vec{i} - 3y\vec{j} + (z+x)\vec{k}\) Определим компоненты \(P, Q, R\): \(P = 2x\) \(Q = -3y\) \(R = z+x\) Теперь вычислим частные производные каждой компоненты по соответствующей переменной: 1. Частная производная \(P\) по \(x\): \[ \frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2x) = 2 \] 2. Частная производная \(Q\) по \(y\): \[ \frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (-3y) = -3 \] 3. Частная производная \(R\) по \(z\): \[ \frac{\partial R}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (z+x) = 1 \] Теперь сложим эти частные производные, чтобы найти дивергенцию: \[ \text{div } \vec{a} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 2 + (-3) + 1 \] \[ \text{div } \vec{a} = 2 - 3 + 1 \] \[ \text{div } \vec{a} = 0 \] Ответ: Дивергенция векторного поля равна 0. Для записи в тетрадь: 1. Запишем формулу для дивергенции векторного поля \(\vec{a} = P\vec{i} + Q\vec{j} + R\vec{k}\): \[ \text{div } \vec{a} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \] 2. Определим компоненты заданного векторного поля \(\vec{a} = 2x\vec{i} - 3y\vec{j} + (z+x)\vec{k}\): \(P = 2x\) \(Q = -3y\) \(R = z+x\) 3. Вычислим частные производные каждой компоненты: * \(\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2x) = 2\) * \(\frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (-3y) = -3\) * \(\frac{\partial R}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (z+x) = 1\) 4. Сложим полученные частные производные: \[ \text{div } \vec{a} = 2 + (-3) + 1 \] \[ \text{div } \vec{a} = 2 - 3 + 1 \] \[ \text{div } \vec{a} = 0 \] Окончательный ответ: 0.