Решение задачи: Дивергенция векторного поля a = 2xi - 3yj + (z + x)k

Решим задачу по вычислению дивергенции векторного поля. Условие задачи: Если дивергенция векторного поля \( \vec{a} = P\vec{i} + Q\vec{j} + R\vec{k} \) вычисляется по формуле \( \text{div } \vec{a} = \frac{dP}{dx} + \frac{dQ}{dy} + \frac{dR}{dz} \), то для векторного поля \( \vec{a} = 2x\vec{i} - 3y\vec{j} + (z + x)\vec{k} \) она равна: Решение: 1. Запишем данное векторное поле: \( \vec{a} = 2x\vec{i} - 3y\vec{j} + (z + x)\vec{k} \) 2. Определим компоненты \( P \), \( Q \) и \( R \) из данного векторного поля, сравнивая его с общим видом \( \vec{a} = P\vec{i} + Q\vec{j} + R\vec{k} \): \( P = 2x \) \( Q = -3y \) \( R = z + x \) 3. Найдем частные производные каждой компоненты по соответствующей координате: а) Частная производная \( P \) по \( x \): \( \frac{dP}{dx} = \frac{d}{dx}(2x) = 2 \) б) Частная производная \( Q \) по \( y \): \( \frac{dQ}{dy} = \frac{d}{dy}(-3y) = -3 \) в) Частная производная \( R \) по \( z \): \( \frac{dR}{dz} = \frac{d}{dz}(z + x) \) При дифференцировании по \( z \), \( x \) считается константой. \( \frac{dR}{dz} = \frac{d}{dz}(z) + \frac{d}{dz}(x) = 1 + 0 = 1 \) 4. Подставим найденные частные производные в формулу для дивергенции: \( \text{div } \vec{a} = \frac{dP}{dx} + \frac{dQ}{dy} + \frac{dR}{dz} \) \( \text{div } \vec{a} = 2 + (-3) + 1 \) \( \text{div } \vec{a} = 2 - 3 + 1 \) \( \text{div } \vec{a} = -1 + 1 \) \( \text{div } \vec{a} = 0 \) Ответ: Дивергенция данного векторного поля равна 0.