Задача: На рисунке изображён график функции \(y = \log_2(x + b)\). По графику функции определите значение \(b\).
Решение:
1. Понимаем, что такое логарифмическая функция.
Функция \(y = \log_a(x)\) имеет вертикальную асимптоту при \(x = 0\). Это означает, что график функции приближается к оси \(y\), но никогда её не пересекает.
2. Анализируем функцию \(y = \log_2(x + b)\).
В данном случае, аргумент логарифма — это \((x + b)\). Логарифм определён только для положительных значений аргумента, то есть \((x + b) > 0\).
Это означает, что вертикальная асимптота для функции \(y = \log_2(x + b)\) будет при \(x + b = 0\), или \(x = -b\).
3. Определяем масштаб графика.
На графике указаны числа "1" на осях \(x\) и \(y\). Это означает, что одна клетка на графике соответствует одной единице измерения.
4. Находим вертикальную асимптоту на графике.
Посмотрите на график: кривая очень близко подходит к вертикальной линии, которая находится на 2 единицы левее оси \(y\).
Эта вертикальная линия и есть асимптота. Её уравнение \(x = -2\).
5. Определяем значение \(b\).
Мы знаем, что вертикальная асимптота имеет уравнение \(x = -b\).
Из графика мы определили, что асимптота находится при \(x = -2\).
Следовательно, мы можем приравнять:
\[-b = -2\]Умножим обе части на -1:
\[b = 2\]Дополнительная проверка (использование точки на графике):
1. Находим удобную точку на графике.
На графике есть точка, где кривая пересекает ось \(x\). В этой точке \(y = 0\).
Если отсчитать от начала координат, эта точка находится на 1 единицу левее оси \(y\), то есть \(x = -1\).
Координаты этой точки: \((-1; 0)\).
2. Подставляем координаты точки в уравнение функции.
У нас есть функция \(y = \log_2(x + b)\).
Подставим \(x = -1\) и \(y = 0\):
\[0 = \log_2(-1 + b)\]3. Решаем логарифмическое уравнение.
По определению логарифма, если \(\log_a(X) = Y\), то \(a^Y = X\).
В нашем случае \(a = 2\), \(Y = 0\), \(X = (-1 + b)\).
\[2^0 = -1 + b\]Мы знаем, что любое число в степени 0 равно 1 (кроме 0 в степени 0, но это не наш случай).
\[1 = -1 + b\]Прибавим 1 к обеим частям уравнения:
\[1 + 1 = b\] \[b = 2\]Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: Значение \(b\) равно \(2\).