Задача 3. Электрон с начальной скоростью 3 Мм/с влетел в однородное электрическое поле напряженностью 150 В/м. Вектор начальной скорости перпендикулярен линиям напряженности электрического поля. Найти силу, действующую на электрон и скорость электрона через 0,1 мкс.
Дано:
- Начальная скорость электрона: \(v_0 = 3 \text{ Мм/с} = 3 \cdot 10^6 \text{ м/с}\)
- Напряженность электрического поля: \(E = 150 \text{ В/м}\)
- Время: \(t = 0,1 \text{ мкс} = 0,1 \cdot 10^{-6} \text{ с} = 10^{-7} \text{ с}\)
- Заряд электрона (справочная величина): \(e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}\)
- Масса электрона (справочная величина): \(m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}\)
Найти:
- Сила, действующая на электрон: \(F\)
- Скорость электрона через 0,1 мкс: \(v\)
Решение:
1. Найдём силу, действующую на электрон.
Сила, действующая на заряд в электрическом поле, определяется формулой:
\[F = |q| \cdot E\]где \(q\) – заряд частицы, \(E\) – напряженность электрического поля.
Для электрона заряд \(q = -e\), поэтому модуль силы будет:
\[F = e \cdot E\]Подставим известные значения:
\[F = (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (150 \text{ В/м})\] \[F = 240 \cdot 10^{-19} \text{ Н}\] \[F = 2,4 \cdot 10^{-17} \text{ Н}\]2. Найдём скорость электрона через 0,1 мкс.
Поскольку вектор начальной скорости перпендикулярен линиям напряженности электрического поля, движение электрона можно рассматривать как суперпозицию двух независимых движений:
- Равномерное движение вдоль начальной скорости (по оси X, например).
- Равноускоренное движение в направлении действия силы (по оси Y, например).
Ускорение электрона в электрическом поле определяется вторым законом Ньютона:
\[a = \frac{F}{m_e}\]Подставим значения:
\[a = \frac{2,4 \cdot 10^{-17} \text{ Н}}{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}\] \[a \approx 0,2637 \cdot 10^{14} \text{ м/с}^2\] \[a \approx 2,637 \cdot 10^{13} \text{ м/с}^2\]Скорость электрона в любой момент времени \(t\) будет векторной суммой начальной скорости и скорости, приобретенной под действием электрического поля.
Скорость вдоль начального направления (ось X) останется неизменной:
\[v_x = v_0 = 3 \cdot 10^6 \text{ м/с}\]Скорость в направлении действия силы (ось Y) будет:
\[v_y = a \cdot t\]Подставим значения:
\[v_y = (2,637 \cdot 10^{13} \text{ м/с}^2) \cdot (10^{-7} \text{ с})\] \[v_y = 2,637 \cdot 10^6 \text{ м/с}\]Полная скорость электрона через время \(t\) находится по теореме Пифагора, так как \(v_x\) и \(v_y\) перпендикулярны:
\[v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\] \[v = \sqrt{(3 \cdot 10^6 \text{ м/с})^2 + (2,637 \cdot 10^6 \text{ м/с})^2}\] \[v = \sqrt{9 \cdot 10^{12} + 6,9538 \cdot 10^{12}}\] \[v = \sqrt{15,9538 \cdot 10^{12}}\] \[v \approx 3,994 \cdot 10^6 \text{ м/с}\]Ответ:
Сила, действующая на электрон: \(F = 2,4 \cdot 10^{-17} \text{ Н}\)
Скорость электрона через 0,1 мкс: \(v \approx 3,99 \cdot 10^6 \text{ м/с}\) (или \(3,99 \text{ Мм/с}\))