Задача 65.8. Плоское зеркало движется по направлению к источнику света со скоростью 5 см/с. С какой скоростью движется изображение источника, создаваемое зеркалом? Плоскость зеркала перпендикулярна вектору скорости.
Дано:
- Скорость зеркала \(v_з = 5\) см/с
Найти:
- Скорость изображения \(v_и\)
Решение:
Представим, что источник света находится в точке \(S\), а его изображение в точке \(S'\). Расстояние от источника до зеркала обозначим \(d\), а расстояние от изображения до зеркала также будет \(d\), так как в плоском зеркале расстояние до предмета равно расстоянию до изображения.
Пусть начало отсчета находится в неподвижной точке. Тогда положение источника света относительно этой точки обозначим \(x_S\), положение зеркала \(x_з\), а положение изображения \(x_и\).
Расстояние от источника до зеркала: \(d = x_з - x_S\).
Расстояние от изображения до зеркала: \(d = x_и - x_з\).
Из этих двух равенств следует, что:
\[x_з - x_S = x_и - x_з\]Выразим положение изображения \(x_и\):
\[x_и = 2x_з - x_S\]Чтобы найти скорость изображения, нужно взять производную по времени от положения изображения:
\[v_и = \frac{dx_и}{dt} = \frac{d(2x_з - x_S)}{dt}\] \[v_и = 2\frac{dx_з}{dt} - \frac{dx_S}{dt}\]Здесь \(\frac{dx_з}{dt}\) — это скорость зеркала \(v_з\), а \(\frac{dx_S}{dt}\) — это скорость источника света \(v_S\).
По условию задачи, источник света неподвижен, то есть \(v_S = 0\).
Тогда формула для скорости изображения упрощается:
\[v_и = 2v_з - 0\] \[v_и = 2v_з\]Подставим известное значение скорости зеркала:
\[v_и = 2 \cdot 5 \text{ см/с}\] \[v_и = 10 \text{ см/с}\]Ответ:
Изображение источника движется со скоростью 10 см/с.