Задача:
Два математических маятника начинают колебаться одновременно. Когда первый маятник совершил 75 полных колебаний, второй совершил только 15 полных колебаний. Длина второго маятника — 4,1 м. Определи длину первого маятника.
(Ответ округли до десятых.)
Решение:
1. Запишем, что нам дано:
- Число колебаний первого маятника \( N_1 = 75 \)
- Число колебаний второго маятника \( N_2 = 15 \)
- Длина второго маятника \( l_2 = 4,1 \) м
2. Нам нужно найти длину первого маятника \( l_1 \).
3. Поскольку маятники начали колебаться одновременно и закончили в один и тот же момент (когда первый совершил 75 колебаний, а второй 15), это означает, что общее время колебаний \( t \) для обоих маятников одинаково.
4. Вспомним, что общее время колебаний можно выразить как произведение числа колебаний на период одного колебания:
\[ t = N \cdot T \]Так как время одинаково для обоих маятников:
\[ N_1 \cdot T_1 = N_2 \cdot T_2 \]5. Вспомним формулу для периода колебаний математического маятника:
\[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \]где \( g \) — ускорение свободного падения, которое одинаково для обоих маятников.
6. Подставим формулу периода в уравнение равенства времён:
\[ N_1 \cdot \left(2 \pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}\right) = N_2 \cdot \left(2 \pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}\right) \]7. Сократим одинаковые множители \( 2 \pi \) и \( \sqrt{\frac{1}{g}} \) с обеих сторон уравнения:
\[ N_1 \sqrt{l_1} = N_2 \sqrt{l_2} \]8. Теперь выразим \( \sqrt{l_1} \):
\[ \sqrt{l_1} = \frac{N_2 \sqrt{l_2}}{N_1} \]9. Чтобы найти \( l_1 \), возведём обе части уравнения в квадрат:
\[ l_1 = \left(\frac{N_2 \sqrt{l_2}}{N_1}\right)^2 \] \[ l_1 = \frac{N_2^2 \cdot l_2}{N_1^2} \]10. Подставим известные значения:
\[ l_1 = \frac{(15)^2 \cdot 4,1 \text{ м}}{(75)^2} \]11. Выполним вычисления:
\[ 15^2 = 225 \] \[ 75^2 = 5625 \]Теперь подставим эти значения:
\[ l_1 = \frac{225 \cdot 4,1}{5625} \] \[ l_1 = \frac{922,5}{5625} \] \[ l_1 = 0,164 \]12. Округлим полученное значение до десятых:
\[ l_1 \approx 0,2 \text{ м} \]Ответ:
Длина первого маятника составляет 0,2 м.