1) Упростим выражение:
\[ \frac{14m^4c}{n^6} \cdot \frac{n^5}{35mc^6} \]Сначала перемножим числители и знаменатели:
\[ \frac{14m^4c \cdot n^5}{n^6 \cdot 35mc^6} \]Теперь сократим числа и степени переменных. Разложим числа на множители: \(14 = 2 \cdot 7\), \(35 = 5 \cdot 7\).
\[ \frac{2 \cdot 7 \cdot m^4 \cdot c \cdot n^5}{n^6 \cdot 5 \cdot 7 \cdot m \cdot c^6} \]Сократим \(7\):
\[ \frac{2 \cdot m^4 \cdot c \cdot n^5}{n^6 \cdot 5 \cdot m \cdot c^6} \]Сократим степени \(m\): \(m^4 / m = m^{4-1} = m^3\).
Сократим степени \(c\): \(c / c^6 = 1 / c^{6-1} = 1 / c^5\).
Сократим степени \(n\): \(n^5 / n^6 = 1 / n^{6-5} = 1 / n\).
Получаем:
\[ \frac{2m^3}{5nc^5} \]Ответ:
\[ \frac{2m^3}{5nc^5} \]2) Упростим выражение:
\[ \frac{36x^3}{y^2} : (9x^6y) \]Деление на выражение равно умножению на обратное этому выражению. \(9x^6y\) можно записать как \(\frac{9x^6y}{1}\). Обратное ему будет \(\frac{1}{9x^6y}\).
\[ \frac{36x^3}{y^2} \cdot \frac{1}{9x^6y} \]Перемножим числители и знаменатели:
\[ \frac{36x^3 \cdot 1}{y^2 \cdot 9x^6y} \] \[ \frac{36x^3}{9x^6y^3} \]Сократим числа: \(36 / 9 = 4\).
Сократим степени \(x\): \(x^3 / x^6 = 1 / x^{6-3} = 1 / x^3\).
Переменная \(y\) в знаменателе останется \(y^3\).
Получаем:
\[ \frac{4}{x^3y^3} \]Ответ:
\[ \frac{4}{x^3y^3} \]3) Упростим выражение:
\[ \frac{8m+8n}{a^5} \cdot \frac{5a^{10}}{m^2-n^2} \]Сначала вынесем общий множитель в числителе первой дроби: \(8m+8n = 8(m+n)\).
Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов: \(m^2-n^2 = (m-n)(m+n)\).
Перепишем выражение с учетом этих преобразований:
\[ \frac{8(m+n)}{a^5} \cdot \frac{5a^{10}}{(m-n)(m+n)} \]Теперь перемножим числители и знаменатели:
\[ \frac{8(m+n) \cdot 5a^{10}}{a^5 \cdot (m-n)(m+n)} \]Сократим \((m+n)\) в числителе и знаменателе:
\[ \frac{8 \cdot 5a^{10}}{a^5 \cdot (m-n)} \]Сократим степени \(a\): \(a^{10} / a^5 = a^{10-5} = a^5\).
Перемножим числа: \(8 \cdot 5 = 40\).
Получаем:
\[ \frac{40a^5}{m-n} \]Ответ:
\[ \frac{40a^5}{m-n} \]4) Упростим выражение:
\[ \frac{3x-15}{x+4} : \frac{x^2-25}{3x+12} \]Сначала вынесем общие множители и разложим на множители выражения:
В числителе первой дроби: \(3x-15 = 3(x-5)\).
В числителе второй дроби: \(x^2-25 = (x-5)(x+5)\) (разность квадратов).
В знаменателе второй дроби: \(3x+12 = 3(x+4)\).
Перепишем выражение с учетом этих преобразований:
\[ \frac{3(x-5)}{x+4} : \frac{(x-5)(x+5)}{3(x+4)} \]Деление на дробь равно умножению на обратную дробь:
\[ \frac{3(x-5)}{x+4} \cdot \frac{3(x+4)}{(x-5)(x+5)} \]Теперь перемножим числители и знаменатели:
\[ \frac{3(x-5) \cdot 3(x+4)}{(x+4) \cdot (x-5)(x+5)} \]Сократим \((x-5)\) в числителе и знаменателе:
\[ \frac{3 \cdot 3(x+4)}{(x+4)(x+5)} \]Сократим \((x+4)\) в числителе и знаменателе:
\[ \frac{3 \cdot 3}{x+5} \]Перемножим числа: \(3 \cdot 3 = 9\).
Получаем:
\[ \frac{9}{x+5} \]Ответ:
\[ \frac{9}{x+5} \]