Задача:
Наибольшая высота подъёма математического маятника массой 482 г в процессе колебаний равна 4,6 см. Определи, какова его наибольшая скорость. При расчётах прими \( g = 9,8 \) м/с2.
(Ответы округли до тысячных, кроме расчётов для скорости.)
Шаг 1. Выразим заданные величины в СИ:
Масса маятника:
\[ m = 482 \text{ г} = \underline{0,482} \text{ кг}. \]Наибольшая высота подъёма маятника:
\[ h = 4,6 \text{ см} = \underline{0,046} \text{ м}. \]Рассмотрим движение данного маятника в двух точках: в точке с наибольшей высотой подъёма (крайней левой или крайней правой) и в точке равновесия.
Шаг 2.
В крайней левой (в крайней правой) точке траектории движения маятника его скорость равна: 0 м/с.
так как маятник останавливается.
Тогда кинетическая энергия маятника в этой точке равна нулю и равна:
\[ E_{к1} = \underline{0} \text{ Дж}. \]Шаг 3.
Потенциальная энергия маятника в данной точке максимальна, так как маятник находится на максимальной высоте.
Потенциальную энергию маятника массой \( m \), находящегося на заданной высоте \( h \), можно вычислить по формуле (заполни пропуски необходимыми буквами):
\[ E_п = \underline{m} \cdot \underline{g} \cdot \underline{h}. \]Тогда потенциальная энергия данного маятника на максимальной высоте равна (вычисли данное значение и заполни пропуск):
\[ E_{п1} = mgh = 0,482 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,046 \text{ м} \] \[ E_{п1} = 0,2170936 \text{ Дж} \]Округлим до тысячных:
\[ E_{п1} \approx \underline{0,217} \text{ Дж}. \]Шаг 4.
Полная механическая энергия маятника в любой точке траектории его движения равна сумме кинетической и потенциальной энергий маятника в этой точке. Значит, полная механическая энергия маятника в крайней левой (крайней правой) точке траектории его движения равна (вычисли данное значение и заполни пропуск):
\[ E_1 = E_{к1} + E_{п1} = 0 + 0,217 = \underline{0,217} \text{ Дж}. \]Шаг 5.
В точке равновесия маятника высота его подъёма минимальна и равна: 0 м.
Тогда потенциальная энергия маятника в данной точке равна нулю и равна:
\[ E_{п2} = \underline{0} \text{ Дж}. \]Шаг 6.
Кинетическая энергия маятника в точке равновесия максимальна, так как маятник проходит данную точку с максимальной скоростью.
Обозначим \( v \) — скорость маятника в точке равновесия. Тогда его кинетическую энергию в данной точке можно записать в виде формулы (заполни пропуски в формуле):
\[ E_{к2} = \frac{\underline{m} \cdot \underline{v}^2}{\underline{2}}. \]Шаг 7.
Полная механическая энергия маятника в любой точке траектории его движения равна сумме кинетической и потенциальной энергий маятника в этой точке. Значит, полная механическая энергия маятника в точке равновесия равна (заполни пропуски в формуле):
\[ E_2 = E_{к2} + E_{п2} = \frac{\underline{m} \cdot \underline{v}^2}{\underline{2}} + \underline{0}. \]Шаг 8.
С другой стороны, полная механическая энергия маятника постоянна в любой момент колебаний. Значит (вставь пропущенный знак сравнения):
\[ E_1 \underline{=} E_2 \]или (выполни подстановку значений полной механической энергии, полученной в шагах 4 и 7)
\[ \underline{0,217} = \frac{\underline{0,482} \cdot \underline{v}^2}{\underline{2}}. \]Шаг 9.
В получившееся уравнение подставь значение массы в СИ (шаг 1) и реши его относительно скорости (ответ округли до сотых):
\[ 0,217 = \frac{0,482 \cdot v^2}{2} \]Умножим обе части на 2:
\[ 0,217 \cdot 2 = 0,482 \cdot v^2 \] \[ 0,434 = 0,482 \cdot v^2 \]Выразим \( v^2 \):
\[ v^2 = \frac{0,434}{0,482} \] \[ v^2 \approx 0,900415 \]Извлечём квадратный корень, чтобы найти \( v \):
\[ v = \sqrt{0,900415} \] \[ v \approx 0,9489 \]Округлим до сотых:
\[ v \approx \underline{0,95} \text{ м/с}. \]Итоговый ответ:
Наибольшая скорость маятника составляет 0,95 м/с.