Задача: На рисунке изображён график функции \(y = ax^2 + bx + c\), где числа \(a\), \(b\) и \(c\) — целые. По графику функции определите значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).
Решение:
1. Понимаем, что такое квадратичная функция \(y = ax^2 + bx + c\).
Это парабола. Коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) определяют её форму и положение.
- Коэффициент \(c\) — это значение \(y\) в точке пересечения параболы с осью \(y\) (когда \(x = 0\)).
- Коэффициент \(a\) определяет направление ветвей параболы (вверх, если \(a > 0\), вниз, если \(a < 0\)) и её "ширину".
- Коэффициент \(b\) влияет на положение вершины параболы.
2. Определяем масштаб графика.
На графике указаны числа "1" на осях \(x\) и \(y\). Это означает, что одна клетка на графике соответствует одной единице измерения.
3. Находим значение коэффициента \(c\).
Коэффициент \(c\) — это \(y\)-координата точки пересечения параболы с осью \(y\). Посмотрим на график: парабола пересекает ось \(y\) в точке \((0; 3)\).
Значит, \(c = 3\).
4. Находим координаты вершины параболы.
Вершина параболы находится в точке \((x_в; y_в)\). По графику видно, что вершина находится в точке \((1; -1)\).
Формула для \(x\)-координаты вершины параболы: \(x_в = -\frac{b}{2a}\).
Значит, \(1 = -\frac{b}{2a}\), или \(b = -2a\).
5. Используем другие точки на графике для нахождения \(a\) и \(b\).
На графике отмечены ещё две удобные точки:
- Точка пересечения с осью \(y\): \((0; 3)\). Мы уже использовали её для \(c\).
- Точка: \((2; 3)\).
Подставим координаты точки \((2; 3)\) и найденное значение \(c = 3\) в уравнение функции \(y = ax^2 + bx + c\):
\[3 = a \cdot (2)^2 + b \cdot 2 + 3\] \[3 = 4a + 2b + 3\]Вычтем 3 из обеих частей уравнения:
\[0 = 4a + 2b\]Разделим на 2:
\[0 = 2a + b\]Отсюда \(b = -2a\).
Это то же самое соотношение, которое мы получили из вершины параболы. Это хорошо, значит, наши наблюдения согласуются.
6. Находим ещё одну точку или используем свойство симметрии.
Парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через её вершину. Ось симметрии \(x = 1\).
Если точка \((0; 3)\) лежит на параболе, то симметричная ей точка относительно \(x = 1\) также лежит на параболе. Расстояние от \(x = 0\) до \(x = 1\) равно 1. Значит, симметричная точка будет на расстоянии 1 от \(x = 1\) вправо, то есть при \(x = 2\). Её \(y\)-координата будет такой же, как у \((0; 3)\), то есть 3. Это точка \((2; 3)\), которую мы уже использовали.
Давайте используем координаты вершины \((1; -1)\) и значение \(c = 3\).
У нас есть система уравнений:
1) \(y = ax^2 + bx + c\)
2) \(c = 3\)
3) \(b = -2a\)
Подставим \(x = 1\), \(y = -1\) (координаты вершины) и \(c = 3\) в уравнение функции:
\[-1 = a \cdot (1)^2 + b \cdot 1 + 3\] \[-1 = a + b + 3\]Теперь подставим \(b = -2a\) в это уравнение:
\[-1 = a + (-2a) + 3\] \[-1 = a - 2a + 3\] \[-1 = -a + 3\]Перенесем \(a\) влево и \(-1\) вправо:
\[a = 3 + 1\] \[a = 4\]7. Находим значение \(b\).
Мы знаем, что \(b = -2a\).
Подставим \(a = 4\):
\[b = -2 \cdot 4\] \[b = -8\]Проверка:
У нас получились коэффициенты: \(a = 4\), \(b = -8\), \(c = 3\).
Уравнение параболы: \(y = 4x^2 - 8x + 3\).
Проверим точки:
- Точка \((0; 3)\): \(y = 4(0)^2 - 8(0) + 3 = 3\). Верно.
- Вершина \((1; -1)\): \(y = 4(1)^2 - 8(1) + 3 = 4 - 8 + 3 = -4 + 3 = -1\). Верно.
- Точка \((2; 3)\): \(y = 4(2)^2 - 8(2) + 3 = 4(4) - 16 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3\). Верно.
Все точки совпадают с графиком.
Ответ:
\(a = 4\)
\(b = -8\)
\(c = 3\)