Задача:
Груз массой 857 г колеблется на пружине жёсткостью 92 Н/м с амплитудой 3,6 см. Определи потенциальную и кинетическую энергию колебаний в тот момент, когда смещение груза равно 2,6 см.
(Промежуточные и конечные ответы округли до тысячных.)
Решение:
1. Запишем, что нам дано, и переведём все величины в систему СИ:
- Масса груза \( m = 857 \text{ г} = 0,857 \text{ кг} \)
- Жёсткость пружины \( k = 92 \text{ Н/м} \)
- Амплитуда колебаний \( A = 3,6 \text{ см} = 0,036 \text{ м} \)
- Смещение груза в данный момент \( x = 2,6 \text{ см} = 0,026 \text{ м} \)
2. Нам нужно найти потенциальную энергию \( E_п \) и кинетическую энергию \( E_к \) в момент, когда смещение равно \( x \).
Определение потенциальной энергии \( E_п \):
Потенциальная энергия пружинного маятника в любой момент времени определяется формулой:
\[ E_п = \frac{k x^2}{2} \]Подставим известные значения:
\[ E_п = \frac{92 \text{ Н/м} \cdot (0,026 \text{ м})^2}{2} \] \[ E_п = \frac{92 \cdot 0,000676}{2} \] \[ E_п = \frac{0,062192}{2} \] \[ E_п = 0,031096 \text{ Дж} \]Округлим до тысячных:
\[ E_п \approx 0,031 \text{ Дж} \]Определение кинетической энергии \( E_к \):
Для определения кинетической энергии воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия \( E \) пружинного маятника постоянна и равна максимальной потенциальной энергии (в крайних точках, где смещение равно амплитуде \( A \)) или максимальной кинетической энергии (в положении равновесия).
Полная энергия \( E \) может быть найдена как максимальная потенциальная энергия:
\[ E = E_{п,макс} = \frac{k A^2}{2} \]Подставим значения:
\[ E = \frac{92 \text{ Н/м} \cdot (0,036 \text{ м})^2}{2} \] \[ E = \frac{92 \cdot 0,001296}{2} \] \[ E = \frac{0,119232}{2} \] \[ E = 0,059616 \text{ Дж} \]Округлим до тысячных:
\[ E \approx 0,060 \text{ Дж} \]Теперь, зная полную энергию и потенциальную энергию в данный момент, мы можем найти кинетическую энергию:
\[ E = E_к + E_п \] \[ E_к = E - E_п \]Подставим значения:
\[ E_к = 0,059616 \text{ Дж} - 0,031096 \text{ Дж} \] \[ E_к = 0,02852 \text{ Дж} \]Округлим до тысячных:
\[ E_к \approx 0,029 \text{ Дж} \]Ответ:
Потенциальная энергия: 0,031 Дж
Кинетическая энергия: 0,029 Дж