Решение задачи с подробным объяснением

Задача 4

На рисунке изображены графики функций вида \(y=ax^2+bx+c\). Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов \(a\) и \(c\).

Объяснение:

Для квадратичной функции \(y=ax^2+bx+c\):

• Коэффициент \(a\) определяет направление ветвей параболы:
  • Если \(a > 0\), ветви параболы направлены вверх.
  • Если \(a < 0\), ветви параболы направлены вниз.
• Коэффициент \(c\) определяет точку пересечения параболы с осью \(y\). Это значение функции при \(x=0\), то есть \(y(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c\).
  • Если \(c > 0\), парабола пересекает ось \(y\) выше оси \(x\).
  • Если \(c < 0\), парабола пересекает ось \(y\) ниже оси \(x\).
  • Если \(c = 0\), парабола проходит через начало координат.

Анализ графиков:

1. График А:
   • Ветви параболы направлены вниз, значит, \(a < 0\).
   • Парабола пересекает ось \(y\) выше оси \(x\) (в точке с положительной координатой), значит, \(c > 0\).
   • Соответствует варианту 4) \(a < 0, c > 0\).
2. График Б:
   • Ветви параболы направлены вниз, значит, \(a < 0\).
   • Парабола пересекает ось \(y\) ниже оси \(x\) (в точке с отрицательной координатой), значит, \(c < 0\).
   • Соответствует варианту 3) \(a < 0, c < 0\).
3. График В:
   • Ветви параболы направлены вверх, значит, \(a > 0\).
   • Парабола пересекает ось \(y\) ниже оси \(x\) (в точке с отрицательной координатой), значит, \(c < 0\).
   • Соответствует варианту 2) \(a > 0, c < 0\).

Ответ:

А - 4

Б - 3

В - 2

Задача 5

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Объяснение:

Рассмотрим типы функций и их графики:

• Линейная функция: \(y = kx + b\). График - прямая линия.
  • Если \(k > 0\), прямая возрастает.
  • Если \(k < 0\), прямая убывает.
  • \(b\) - точка пересечения с осью \(y\).
• Обратная пропорциональность: \(y = \frac{k}{x}\). График - гипербола.
  • Если \(k > 0\), ветви гиперболы расположены в I и III четвертях.
  • Если \(k < 0\), ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях.
• Квадратичная функция: \(y = ax^2\). График - парабола с вершиной в начале координат.
  • Если \(a > 0\), ветви вверх.
  • Если \(a < 0\), ветви вниз.

Анализ графиков и формул:

1. График А:
   • Это прямая линия, которая возрастает и пересекает ось \(y\) в точке \(y=3\).
   • Среди формул есть линейная функция 2) \(y = 2x + 3\). Здесь \(k=2 > 0\) (возрастает) и \(b=3\) (пересекает ось \(y\) в 3). Это соответствует графику А.
2. График Б:
   • Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат.
   • Среди формул есть квадратичная функция 3) \(y = 2x^2\). Здесь \(a=2 > 0\), что соответствует параболе с ветвями вверх и вершиной в начале координат.
3. График В:
   • Это гипербола, ветви которой расположены во II и IV четвертях.
   • Среди формул есть функция обратной пропорциональности 1) \(y = -\frac{3}{x}\). Здесь \(k=-3 < 0\), что соответствует гиперболе с ветвями во II и IV четвертях.

Ответ:

А - 2

Б - 3

В - 1

Задача 6

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Объяснение:

Рассмотрим типы функций и их графики:

• Функция квадратного корня: \(y = \sqrt{x}\). График начинается в точке \((0,0)\) и идет вправо вверх. Область определения \(x \ge 0\).
• Линейная функция: \(y = kx + b\). График - прямая линия.
  • Если \(k < 0\), прямая убывает.
  • \(b\) - точка пересечения с осью \(y\).
• Квадратичная функция: \(y = x^2 + c\). График - парабола, смещенная по оси \(y\).
  • Если \(a=1 > 0\), ветви вверх.
  • \(c\) - смещение вершины по оси \(y\).

Анализ графиков и формул:

1. График А:
   • Это график функции квадратного корня. Он начинается в точке \((0,0)\) и идет вправо вверх.
   • Среди формул есть 1) \(y = \sqrt{x}\). Это соответствует графику А.
2. График Б:
   • Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится ниже оси \(x\).
   • Среди формул есть 3) \(y = x^2 - 3\). Здесь \(a=1 > 0\) (ветви вверх), а вершина смещена на 3 единицы вниз по оси \(y\) (в точку \((0, -3)\)). Это соответствует графику Б.
3. График В:
   • Это прямая линия, которая убывает и проходит через начало координат.
   • Среди формул есть линейная функция 2) \(y = -\frac{1}{2}x\). Здесь \(k = -\frac{1}{2} < 0\) (убывает) и \(b=0\) (проходит через начало координат). Это соответствует графику В.

Ответ:

А - 1

Б - 3

В - 2