Решение задач: sin α и наибольшее значение тригонометрического выражения

Вот решения задач: 1) Вычислите \( \sin\alpha \), если \( \cos\alpha = -0,6 \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Решение: Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \). Подставим значение \( \cos\alpha \): \( \sin^2\alpha + (-0,6)^2 = 1 \) \( \sin^2\alpha + 0,36 = 1 \) \( \sin^2\alpha = 1 - 0,36 \) \( \sin^2\alpha = 0,64 \) \( \sin\alpha = \pm\sqrt{0,64} \) \( \sin\alpha = \pm 0,8 \) По условию, \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Это вторая четверть, где синус положительный. Значит, \( \sin\alpha = 0,8 \). Ответ: \( 0,8 \). 2) Найдите наибольшее значение выражения \( 3 + 4\sin x \). Решение: Мы знаем, что функция \( \sin x \) принимает значения в диапазоне от \( -1 \) до \( 1 \), то есть \( -1 \le \sin x \le 1 \). Чтобы найти наибольшее значение выражения \( 3 + 4\sin x \), нужно подставить наибольшее возможное значение \( \sin x \). Наибольшее значение \( \sin x \) равно \( 1 \). Подставим \( \sin x = 1 \) в выражение: \( 3 + 4 \cdot 1 = 3 + 4 = 7 \). Ответ: \( 7 \). 3) Вычислите: \( \frac{\sin\frac{\pi}{3}}{\cos\frac{\pi}{6} + \frac{1}{4}} \). Решение: Сначала найдем значения \( \sin\frac{\pi}{3} \) и \( \cos\frac{\pi}{6} \). \( \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) Теперь подставим эти значения в выражение: \[ \frac{\sin\frac{\pi}{3}}{\cos\frac{\pi}{6} + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{4}} \] Чтобы упростить знаменатель, приведем его к общему знаменателю: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2\sqrt{3} + 1}{4} \] Теперь подставим это обратно в дробь: \[ \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2\sqrt{3} + 1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{2\sqrt{3} + 1} = \frac{4\sqrt{3}}{2(2\sqrt{3} + 1)} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3} + 1} \] Можно избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( (2\sqrt{3} - 1) \): \[ \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{2\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{3} - 1} = \frac{2\sqrt{3}(2\sqrt{3} - 1)}{(2\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{4 \cdot 3 - 2\sqrt{3}}{4 \cdot 3 - 1} = \frac{12 - 2\sqrt{3}}{12 - 1} = \frac{12 - 2\sqrt{3}}{11} \] Ответ: \( \frac{12 - 2\sqrt{3}}{11} \). 4) Найдите значение выражения \( 10 - 5\sin^2 x - 5\cos^2 x \). Решение: Вынесем общий множитель \( -5 \) из последних двух слагаемых: \( 10 - 5\sin^2 x - 5\cos^2 x = 10 - 5(\sin^2 x + \cos^2 x) \) Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Подставим это в выражение: \( 10 - 5(1) = 10 - 5 = 5 \). Ответ: \( 5 \). 5) Упростите выражение \( \text{tg}^2 x + \sin^2 x + \cos^2 x \). Решение: Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Подставим это в выражение: \( \text{tg}^2 x + (\sin^2 x + \cos^2 x) = \text{tg}^2 x + 1 \) Также известно, что \( 1 + \text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \). Значит, выражение можно упростить до \( \frac{1}{\cos^2 x} \). Ответ: \( \text{tg}^2 x + 1 \) или \( \frac{1}{\cos^2 x} \).