ЗАДАНИЕ №2
В параллелограмме сторона равна 12, а диагонали равны 24 и 26. Найдите косинус острого угла между диагоналями.
Решение:
Пусть стороны параллелограмма равны \(a\) и \(b\), а диагонали равны \(d_1\) и \(d_2\). Известна одна сторона \(a = 12\). Пусть вторая сторона будет \(b\). Диагонали равны \(d_1 = 24\) и \(d_2 = 26\).
Для параллелограмма существует свойство, связывающее стороны и диагонали:
\[2(a^2 + b^2) = d_1^2 + d_2^2\]Подставим известные значения:
\[2(12^2 + b^2) = 24^2 + 26^2\] \[2(144 + b^2) = 576 + 676\] \[2(144 + b^2) = 1252\] \[144 + b^2 = \frac{1252}{2}\] \[144 + b^2 = 626\] \[b^2 = 626 - 144\] \[b^2 = 482\] \[b = \sqrt{482}\]Теперь рассмотрим треугольник, образованный двумя половинками диагоналей и одной стороной параллелограмма. Пусть диагонали пересекаются в точке \(O\). Тогда \(AO = \frac{d_1}{2} = \frac{24}{2} = 12\) и \(BO = \frac{d_2}{2} = \frac{26}{2} = 13\). Сторона \(AB = a = 12\).
В треугольнике \(AOB\) по теореме косинусов:
\[AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos \alpha\]где \(\alpha\) - угол между диагоналями.
Подставим значения:
\[12^2 = 12^2 + 13^2 - 2 \cdot 12 \cdot 13 \cdot \cos \alpha\] \[144 = 144 + 169 - 312 \cdot \cos \alpha\] \[144 = 313 - 312 \cdot \cos \alpha\] \[312 \cdot \cos \alpha = 313 - 144\] \[312 \cdot \cos \alpha = 169\] \[\cos \alpha = \frac{169}{312}\]Если бы мы взяли другую сторону параллелограмма, например, \(b = \sqrt{482}\), то получили бы тупой угол между диагоналями. Нам нужен острый угол. Поскольку \(\frac{169}{312} > 0\), то угол \(\alpha\) является острым.
Ответ: \(\cos \alpha = \frac{169}{312}\)
ЗАДАНИЕ №3
Две стороны треугольника равны \(6\sqrt{2}\) и 8, площадь треугольника равна 24. Найдите третью сторону треугольника, если известно, что он остроугольный.
Решение:
Пусть данные стороны треугольника \(a = 6\sqrt{2}\) и \(b = 8\). Площадь треугольника \(S = 24\). Пусть угол между этими сторонами равен \(\gamma\).
Формула площади треугольника через две стороны и угол между ними:
\[S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma\]Подставим известные значения:
\[24 = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin \gamma\] \[24 = 24\sqrt{2} \sin \gamma\] \[\sin \gamma = \frac{24}{24\sqrt{2}}\] \[\sin \gamma = \frac{1}{\sqrt{2}}\] \[\sin \gamma = \frac{\sqrt{2}}{2}\]Из этого следует, что \(\gamma = 45^\circ\) или \(\gamma = 135^\circ\).
Так как треугольник остроугольный, то все его углы должны быть меньше \(90^\circ\). Если \(\gamma = 135^\circ\), то треугольник будет тупоугольным, что противоречит условию. Значит, \(\gamma = 45^\circ\).
Теперь найдем третью сторону \(c\) по теореме косинусов:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\]Подставим значения \(a = 6\sqrt{2}\), \(b = 8\) и \(\gamma = 45^\circ\). Мы знаем, что \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
\[c^2 = (6\sqrt{2})^2 + 8^2 - 2 \cdot 6\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[c^2 = (36 \cdot 2) + 64 - (2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2})\] \[c^2 = 72 + 64 - (2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{2}{2})\] \[c^2 = 72 + 64 - (2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 1)\] \[c^2 = 72 + 64 - 96\] \[c^2 = 136 - 96\] \[c^2 = 40\] \[c = \sqrt{40}\] \[c = \sqrt{4 \cdot 10}\] \[c = 2\sqrt{10}\]Проверим, что треугольник остроугольный. Для этого все квадраты сторон должны быть меньше суммы квадратов двух других сторон.
\(a^2 = (6\sqrt{2})^2 = 72\)
\(b^2 = 8^2 = 64\)
\(c^2 = (2\sqrt{10})^2 = 40\)
1. \(a^2 + b^2 = 72 + 64 = 136 > c^2 = 40\) (угол напротив \(c\) острый)
2. \(a^2 + c^2 = 72 + 40 = 112 > b^2 = 64\) (угол напротив \(b\) острый)
3. \(b^2 + c^2 = 64 + 40 = 104 > a^2 = 72\) (угол напротив \(a\) острый)
Все условия выполнены, треугольник остроугольный.
Ответ: \(2\sqrt{10}\)