Решение СР №7 по математике 6 класс: Сложение и вычитание смешанных чисел

Вот решение задач из самостоятельной работы. Самостоятельная работа № 7 по математике Сложение и вычитание смешанных чисел Вариант 1 1. Найдите значение выражения: а) \(2\frac{3}{4} + 4\frac{1}{5}\) Решение: Чтобы сложить смешанные числа, сначала сложим целые части, а затем дробные. \(2\frac{3}{4} + 4\frac{1}{5} = (2+4) + (\frac{3}{4} + \frac{1}{5})\) Найдем общий знаменатель для дробей \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{1}{5}\). Общий знаменатель равен 20. \(\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}\) \(\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{4}{20}\) Теперь сложим дроби: \(\frac{15}{20} + \frac{4}{20} = \frac{15+4}{20} = \frac{19}{20}\) Теперь сложим целые части и результат сложения дробей: \(6 + \frac{19}{20} = 6\frac{19}{20}\) Ответ: \(6\frac{19}{20}\) б) \(7\frac{8}{15} + 1\frac{1}{12} - 2\frac{11}{20}\) Решение: Сначала сложим первые два смешанных числа: \(7\frac{8}{15} + 1\frac{1}{12} = (7+1) + (\frac{8}{15} + \frac{1}{12})\) Найдем общий знаменатель для \(\frac{8}{15}\) и \(\frac{1}{12}\). Разложим знаменатели на простые множители: \(15 = 3 \cdot 5\) \(12 = 2^2 \cdot 3\) Наименьшее общее кратное (НОК) для 15 и 12 равно \(2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60\). Приведем дроби к общему знаменателю 60: \(\frac{8}{15} = \frac{8 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{32}{60}\) \(\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{5}{60}\) Сложим дроби: \(\frac{32}{60} + \frac{5}{60} = \frac{32+5}{60} = \frac{37}{60}\) Результат сложения первых двух чисел: \(8 + \frac{37}{60} = 8\frac{37}{60}\) Теперь вычтем \(2\frac{11}{20}\) из полученного результата: \(8\frac{37}{60} - 2\frac{11}{20} = (8-2) + (\frac{37}{60} - \frac{11}{20})\) Найдем общий знаменатель для \(\frac{37}{60}\) и \(\frac{11}{20}\). Общий знаменатель равен 60. Приведем \(\frac{11}{20}\) к знаменателю 60: \(\frac{11}{20} = \frac{11 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{33}{60}\) Вычтем дроби: \(\frac{37}{60} - \frac{33}{60} = \frac{37-33}{60} = \frac{4}{60}\) Дробь \(\frac{4}{60}\) можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 4: \(\frac{4}{60} = \frac{4 \div 4}{60 \div 4} = \frac{1}{15}\) Теперь сложим целые части и результат вычитания дробей: \(6 + \frac{1}{15} = 6\frac{1}{15}\) Ответ: \(6\frac{1}{15}\) в) \(3\frac{1}{6} - 1\frac{3}{4}\) Решение: Чтобы вычесть смешанные числа, сначала вычтем целые части, а затем дробные. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, нужно "занять" единицу у целой части. \(3\frac{1}{6} - 1\frac{3}{4}\) Найдем общий знаменатель для \(\frac{1}{6}\) и \(\frac{3}{4}\). Разложим знаменатели на простые множители: \(6 = 2 \cdot 3\) \(4 = 2^2\) Наименьшее общее кратное (НОК) для 6 и 4 равно \(2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12\). Приведем дроби к общему знаменателю 12: \(\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}\) \(\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}\) Теперь выражение выглядит как \(3\frac{2}{12} - 1\frac{9}{12}\). Так как \(\frac{2}{12} < \frac{9}{12}\), нам нужно "занять" единицу у целой части 3. \(3\frac{2}{12} = 2 + 1 + \frac{2}{12} = 2 + \frac{12}{12} + \frac{2}{12} = 2\frac{14}{12}\) Теперь выполним вычитание: \(2\frac{14}{12} - 1\frac{9}{12} = (2-1) + (\frac{14}{12} - \frac{9}{12})\) \(1 + \frac{14-9}{12} = 1 + \frac{5}{12} = 1\frac{5}{12}\) Ответ: \(1\frac{5}{12}\) г) \(1\frac{5}{12} + 7\frac{5}{6} + 0,75\) Решение: Сначала переведем десятичную дробь 0,75 в обыкновенную дробь. \(0,75 = \frac{75}{100}\) Сократим дробь \(\frac{75}{100}\), разделив числитель и знаменатель на 25: \(\frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}\) Теперь выражение выглядит как \(1\frac{5}{12} + 7\frac{5}{6} + \frac{3}{4}\). Сложим целые части: \(1+7 = 8\). Сложим дробные части: \(\frac{5}{12} + \frac{5}{6} + \frac{3}{4}\). Найдем общий знаменатель для 12, 6 и 4. Общий знаменатель равен 12. Приведем дроби к знаменателю 12: \(\frac{5}{12}\) (уже с нужным знаменателем) \(\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}\) \(\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}\) Сложим дроби: \(\frac{5}{12} + \frac{10}{12} + \frac{9}{12} = \frac{5+10+9}{12} = \frac{24}{12}\) \(\frac{24}{12} = 2\) Теперь сложим целые части и результат сложения дробей: \(8 + 2 = 10\) Ответ: 10 2. Решите уравнение: а) \(14\frac{3}{4} - x = 10\frac{5}{6}\) Решение: Чтобы найти вычитаемое \(x\), нужно из уменьшаемого вычесть разность. \(x = 14\frac{3}{4} - 10\frac{5}{6}\) Вычтем целые части: \(14 - 10 = 4\). Вычтем дробные части: \(\frac{3}{4} - \frac{5}{6}\). Найдем общий знаменатель для 4 и 6. Общий знаменатель равен 12. Приведем дроби к знаменателю 12: \(\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}\) \(\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}\) Теперь выражение выглядит как \(4 + (\frac{9}{12} - \frac{10}{12})\). Так как \(\frac{9}{12} < \frac{10}{12}\), нам нужно "занять" единицу у целой части 4. \(4\frac{9}{12} = 3 + 1 + \frac{9}{12} = 3 + \frac{12}{12} + \frac{9}{12} = 3\frac{21}{12}\) Теперь выполним вычитание: \(x = 3\frac{21}{12} - 10\frac{10}{12}\) (ошибка в предыдущем шаге, нужно было вычитать из \(14\frac{3}{4}\) число \(10\frac{5}{6}\), а не из \(4\frac{9}{12}\) число \(10\frac{10}{12}\). Вернемся к \(x = 14\frac{3}{4} - 10\frac{5}{6}\)) Правильное решение: \(x = 14\frac{3}{4} - 10\frac{5}{6}\) Переведем смешанные числа в неправильные дроби: \(14\frac{3}{4} = \frac{14 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{56+3}{4} = \frac{59}{4}\) \(10\frac{5}{6} = \frac{10 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{60+5}{6} = \frac{65}{6}\) Теперь уравнение: \(x = \frac{59}{4} - \frac{65}{6}\) Найдем общий знаменатель для 4 и 6. Общий знаменатель равен 12. \(\frac{59}{4} = \frac{59 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{177}{12}\) \(\frac{65}{6} = \frac{65 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{130}{12}\) Выполним вычитание: \(x = \frac{177}{12} - \frac{130}{12} = \frac{177-130}{12} = \frac{47}{12}\) Переведем неправильную дробь в смешанное число: \(\frac{47}{12} = 3\frac{11}{12}\) (так как \(47 = 3 \cdot 12 + 11\)) Ответ: \(x = 3\frac{11}{12}\) б) \((x + \frac{1}{8}) - 2\frac{5}{6} = 1,3\) Решение: Сначала переведем десятичную дробь 1,3 в обыкновенную дробь. \(1,3 = 1\frac{3}{10}\) Теперь уравнение: \((x + \frac{1}{8}) - 2\frac{5}{6} = 1\frac{3}{10}\) Чтобы найти уменьшаемое \((x + \frac{1}{8})\), нужно к разности прибавить вычитаемое. \(x + \frac{1}{8} = 1\frac{3}{10} + 2\frac{5}{6}\) Сложим смешанные числа в правой части: \(1\frac{3}{10} + 2\frac{5}{6} = (1+2) + (\frac{3}{10} + \frac{5}{6})\) Найдем общий знаменатель для 10 и 6. Разложим знаменатели на простые множители: \(10 = 2 \cdot 5\) \(6 = 2 \cdot 3\) Наименьшее общее кратное (НОК) для 10 и 6 равно \(2 \cdot 3 \cdot 5 = 30\). Приведем дроби к общему знаменателю 30: \(\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}\) \(\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{25}{30}\) Сложим дроби: \(\frac{9}{30} + \frac{25}{30} = \frac{9+25}{30} = \frac{34}{30}\) Дробь \(\frac{34}{30}\) можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2: \(\frac{34}{30} = \frac{17}{15}\) Переведем неправильную дробь в смешанное число: \(\frac{17}{15} = 1\frac{2}{15}\) Теперь сложим целые части и результат сложения дробей: \(3 + 1\frac{2}{15} = 4\frac{2}{15}\) Итак, \(x + \frac{1}{8} = 4\frac{2}{15}\) Чтобы найти слагаемое \(x\), нужно из суммы вычесть известное слагаемое. \(x = 4\frac{2}{15} - \frac{1}{8}\) Переведем смешанное число в неправильную дробь: \(4\frac{2}{15} = \frac{4 \cdot 15 + 2}{15} = \frac{60+2}{15} = \frac{62}{15}\) Теперь уравнение: \(x = \frac{62}{15} - \frac{1}{8}\) Найдем общий знаменатель для 15 и 8. Разложим знаменатели на простые множители: \(15 = 3 \cdot 5\) \(8 = 2^3\) Наименьшее общее кратное (НОК) для 15 и 8 равно \(2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120\). Приведем дроби к общему знаменателю 120: \(\frac{62}{15} = \frac{62 \cdot 8}{15 \cdot 8} = \frac{496}{120}\) \(\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 15}{8 \cdot 15} = \frac{15}{120}\) Выполним вычитание: \(x = \frac{496}{120} - \frac{15}{120} = \frac{496-15}{120} = \frac{481}{120}\) Переведем неправильную дробь в смешанное число: \(\frac{481}{120} = 4\frac{1}{120}\) (так как \(481 = 4 \cdot 120 + 1\)) Ответ: \(x = 4\frac{1}{120}\) 3. Токарь может выполнить заказ за 6 ч, а его ученик — за 10 ч. Какая часть заказа останется невыполненной после трёх часов совместной работы токаря и ученика? Решение: 1. Определим производительность токаря. Если токарь выполняет заказ за 6 часов, то за 1 час он выполняет \(\frac{1}{6}\) часть заказа. 2. Определим производительность ученика. Если ученик выполняет заказ за 10 часов, то за 1 час он выполняет \(\frac{1}{10}\) часть заказа. 3. Определим совместную производительность токаря и уче