Решение неравенства: (x^4 - 2x^2 - 8) / (x - 3) ≤ (x^4 - 16) / (x + 3)

Решим неравенства. а) \[ \frac{x^4 - 2x^2 - 8}{x - 3} \le \frac{x^4 - 16}{x + 3} \] Перенесем все в левую часть: \[ \frac{x^4 - 2x^2 - 8}{x - 3} - \frac{x^4 - 16}{x + 3} \le 0 \] Разложим числители на множители. Для \( x^4 - 2x^2 - 8 \): пусть \( t = x^2 \), тогда \( t^2 - 2t - 8 = 0 \). По теореме Виета: \( t_1 + t_2 = 2 \), \( t_1 \cdot t_2 = -8 \). Значит, \( t_1 = 4 \), \( t_2 = -2 \). Тогда \( x^4 - 2x^2 - 8 = (x^2 - 4)(x^2 + 2) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 2) \). Для \( x^4 - 16 \): это разность квадратов \( (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) \). Подставим разложения в неравенство: \[ \frac{(x - 2)(x + 2)(x^2 + 2)}{x - 3} - \frac{(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)}{x + 3} \le 0 \] Вынесем общий множитель \( (x - 2)(x + 2) \): \[ (x - 2)(x + 2) \left( \frac{x^2 + 2}{x - 3} - \frac{x^2 + 4}{x + 3} \right) \le 0 \] Приведем дроби в скобках к общему знаменателю: \[ (x - 2)(x + 2) \left( \frac{(x^2 + 2)(x + 3) - (x^2 + 4)(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} \right) \le 0 \] Раскроем скобки в числителе: \( (x^2 + 2)(x + 3) = x^3 + 3x^2 + 2x + 6 \) \( (x^2 + 4)(x - 3) = x^3 - 3x^2 + 4x - 12 \) Вычтем: \( (x^3 + 3x^2 + 2x + 6) - (x^3 - 3x^2 + 4x - 12) = x^3 + 3x^2 + 2x + 6 - x^3 + 3x^2 - 4x + 12 = 6x^2 - 2x + 18 \) Тогда неравенство примет вид: \[ \frac{(x - 2)(x + 2)(6x^2 - 2x + 18)}{(x - 3)(x + 3)} \le 0 \] Заметим, что \( 6x^2 - 2x + 18 = 2(3x^2 - x + 9) \). Дискриминант квадратного трехчлена \( 3x^2 - x + 9 \) равен \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 1 - 108 = -107 < 0 \). Так как старший коэффициент \( 3 > 0 \) и \( D < 0 \), то \( 3x^2 - x + 9 > 0 \) для всех \( x \). Значит, \( 6x^2 - 2x + 18 > 0 \) для всех \( x \). Мы можем разделить обе части неравенства на \( 6x^2 - 2x + 18 \) (или на 2), так как это выражение всегда положительно: \[ \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 3)(x + 3)} \le 0 \] Найдем нули числителя: \( x = 2 \), \( x = -2 \). Найдем нули знаменателя: \( x = 3 \), \( x = -3 \). Эти значения исключаются из области определения. Расположим эти точки на числовой прямой: \( -3, -2, 2, 3 \). Метод интервалов: Возьмем \( x = 4 \): \( \frac{(4 - 2)(4 + 2)}{(4 - 3)(4 + 3)} = \frac{2 \cdot 6}{1 \cdot 7} = \frac{12}{7} > 0 \). Знаки чередуются: \( x \in (-\infty, -3) \): \( + \) \( x \in (-3, -2] \): \( - \) \( x \in [-2, 2] \): \( + \) \( x \in [2, 3) \): \( - \) \( x \in (3, +\infty) \): \( + \) Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно 0. Учитывая, что \( x \ne 3 \) и \( x \ne -3 \), получаем: \( x \in (-3, -2] \cup [2, 3) \). Ответ: \( x \in (-3, -2] \cup [2, 3) \). б) \[ \frac{x^2 + 7x + 10}{(x + 3)^2} \le 0 \] Разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 7x + 10 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -7 \), \( x_1 \cdot x_2 = 10 \). Значит, \( x_1 = -5 \), \( x_2 = -2 \). Тогда \( x^2 + 7x + 10 = (x + 5)(x + 2) \). Неравенство примет вид: \[ \frac{(x + 5)(x + 2)}{(x + 3)^2} \le 0 \] Найдем нули числителя: \( x = -5 \), \( x = -2 \). Найдем нули знаменателя: \( x = -3 \). Это значение исключается из области определения. Заметим, что \( (x + 3)^2 \ge 0 \) для всех \( x \). Если \( x \ne -3 \), то \( (x + 3)^2 > 0 \). Значит, знак неравенства определяется знаком числителя, при условии, что \( x \ne -3 \). Нам нужно, чтобы \( (x + 5)(x + 2) \le 0 \). Корни числителя: \( -5 \) и \( -2 \). Парабола \( y = (x + 5)(x + 2) \) ветвями вверх, поэтому она меньше или равна 0 между корнями. То есть \( x \in [-5, -2] \). Теперь учтем условие \( x \ne -3 \). Точка \( -3 \) находится между \( -5 \) и \( -2 \). Значит, из интервала \( [-5, -2] \) нужно исключить точку \( -3 \). Получаем: \( x \in [-5, -3) \cup (-3, -2] \). Ответ: \( x \in [-5, -3) \cup (-3, -2] \). в) \[ \frac{(x^2 + 2x - 3)(x^2 - 16)}{(x^2 - 1)(x^2 - 9)} \ge 0 \] Разложим все множители на линейные: \( x^2 + 2x - 3 \): корни \( x^2 + 2x - 3 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -2 \), \( x_1 \cdot x_2 = -3 \). Значит, \( x_1 = -3 \), \( x_2 = 1 \). Тогда \( x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) \). \( x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) \). \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \). \( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \). Подставим разложения в неравенство: \[ \frac{(x + 3)(x - 1)(x - 4)(x + 4)}{(x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)} \ge 0 \] Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю. \( (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3) \ne 0 \). Значит, \( x \ne 1 \), \( x \ne -1 \), \( x \ne 3 \), \( x \ne -3 \). В числителе и знаменателе есть одинаковые множители \( (x - 1) \) и \( (x + 3) \). Сократим их, помня об ОДЗ: \[ \frac{(x - 4)(x + 4)}{(x + 1)(x - 3)} \ge 0 \] Найдем нули числителя: \( x = 4 \), \( x = -4 \). Найдем нули знаменателя: \( x = -1 \), \( x = 3 \). Расположим все эти точки на числовой прямой: \( -4, -1, 3, 4 \). Все эти точки являются "простыми" корнями, поэтому знаки будут чередоваться. Возьмем \( x = 5 \): \( \frac{(5 - 4)(5 + 4)}{(5 + 1)(5 - 3)} = \frac{1 \cdot 9}{6 \cdot 2} = \frac{9}{12} > 0 \). Знаки чередуются: \( x \in (-\infty, -4] \): \( + \) \( x \in [-4, -1) \): \( - \) \( x \in (-1, 3) \): \( + \) \( x \in (3, 4] \): \( - \) \( x \in [4, +\infty) \): \( + \) Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно 0. Учитывая ОДЗ (точки \( -1 \) и \( 3 \) исключаются), получаем: \( x \in (-\infty, -4] \cup (-1, 3) \cup [4, +\infty) \). Ответ: \( x \in (-\infty, -4] \cup (-1, 3) \cup [4, +\infty) \). г) \[ \frac{4 - x^2}{(x + 7)x} \le 0 \] Разложим числитель на множители: \( 4 - x^2 = (2 - x)(2 + x) \). Неравенство примет вид: \[ \frac{(2 - x)(2 + x)}{x(x + 7)} \le 0 \] Для удобства, чтобы старшие коэффициенты были положительными, умножим числитель на \( -1 \) и поменяем знак неравенства: \[ \frac{(x - 2)(x + 2)}{x(x + 7)} \ge 0 \] Найдем нули числителя: \( x = 2 \), \( x = -2 \). Найдем нули знаменателя: \( x = 0 \), \( x = -7 \). Эти значения исключаются из области определения. Расположим все эти точки на числовой прямой: \( -7, -2, 0, 2 \). Все эти точки являются "простыми" корнями, поэтому знаки будут чередоваться. Возьмем \( x = 3 \): \( \frac{(3 - 2)(3 + 2)}{3(3 + 7)} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 10} = \frac{5}{30} > 0 \). Знаки чередуются: \( x \in (-\infty, -7) \): \( + \) \( x \in (-7, -2] \): \( - \) \( x \in [-2, 0) \): \( + \) \( x \in (0, 2] \): \( - \) \( x \in [2, +\infty) \): \( + \) Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно 0. Учитывая, что \( x \ne -7 \) и \( x \ne 0 \), получаем: \( x \in (-\infty, -7) \cup [-2, 0) \cup [2, +\infty) \). Ответ: \( x \in (-\infty, -7) \cup [-2, 0) \cup [2, +\infty) \).