Решение задачи С1: Нахождение проекций и моментов сил

Задача С1. На схеме показаны системы сил \(\{\vec{Q}, \vec{Q}', \vec{P}, \vec{F}\}\) в прямоугольной системе координат. Геометрические размеры \(a, b\) и углы \(\alpha, \beta\) - известны. Требуется найти проекции всех сил на оси координат и моменты этих сил относительно осей координат \(Oxyz\) двумя способами - аналитическим и графо-аналитическим. --- Решение. Для удобства перепишем условия задачи и приступим к решению. Дано: Силы: \(\vec{Q}, \vec{Q}', \vec{P}, \vec{F}\) Размеры: \(a, b\) Углы: \(\alpha, \beta\) Система координат: \(Oxyz\) Требуется найти: 1. Проекции всех сил на оси \(Ox, Oy, Oz\). 2. Моменты всех сил относительно осей \(Ox, Oy, Oz\). Решить двумя способами: аналитическим и графо-аналитическим. --- Прежде чем приступить к решению, давайте внимательно рассмотрим схему и определим точки приложения сил, их направления и углы, которые они образуют с осями координат. На схеме изображен параллелепипед. Оси координат: \(Ox\) направлена вправо, \(Oy\) направлена вверх, \(Oz\) направлена "на нас" (из плоскости чертежа). Силы: 1. \(\vec{Q}\): Приложена к нижнему левому переднему углу параллелепипеда. Направлена вдоль нижней грани, параллельно оси \(Ox\), в положительном направлении. 2. \(\vec{Q}'\): Приложена к верхнему левому заднему углу параллелепипеда. Направлена вдоль верхней грани, параллельно оси \(Ox\), в отрицательном направлении. 3. \(\vec{P}\): Приложена к нижнему правому переднему углу параллелепипеда. Направлена под углом \(\alpha\) к оси \(Ox\) в плоскости \(Oxy\). Судя по рисунку, она направлена "внутрь" параллелепипеда, то есть имеет отрицательную проекцию на \(Ox\) и положительную на \(Oy\). 4. \(\vec{F}\): Приложена к центру верхней грани параллелепипеда. Направлена под углом \(\beta\) к оси \(Ox\) в плоскости, параллельной \(Oxy\). Судя по рисунку, она направлена "внутрь" параллелепипеда, то есть имеет отрицательную проекцию на \(Ox\) и положительную на \(Oy\). Размеры: Длина вдоль оси \(Ox\) - \(a\). Высота вдоль оси \(Oy\) - \(b\). Ширина вдоль оси \(Oz\) - не указана явно, но обозначена как "глубина" параллелепипеда. Пусть будет \(c\). На рисунке видно, что сила \(\vec{Q}\) приложена к передней грани, а \(\vec{Q}'\) к задней. --- Часть 1. Аналитический способ. 1. Проекции сил на оси координат. Для каждой силы \(\vec{F}\) ее проекции на оси \(Ox, Oy, Oz\) обозначаются как \(F_x, F_y, F_z\). а) Сила \(\vec{Q}\): Приложена в точке \((0, 0, c)\) (если считать, что передняя грань находится на расстоянии \(c\) от плоскости \(Oxy\)). Направлена вдоль оси \(Ox\) в положительном направлении. \(Q_x = Q\) \(Q_y = 0\) \(Q_z = 0\) б) Сила \(\vec{Q}'\): Приложена в точке \((0, b, 0)\) (если считать, что задняя грань находится в плоскости \(Oxy\)). Направлена вдоль оси \(Ox\) в отрицательном направлении. \(Q'_x = -Q'\) \(Q'_y = 0\) \(Q'_z = 0\) в) Сила \(\vec{P}\): Приложена в точке \((a, 0, c)\). Направлена под углом \(\alpha\) к оси \(Ox\) в плоскости, параллельной \(Oxy\). Из рисунка видно, что угол \(\alpha\) отсчитывается от отрицательного направления оси \(Ox\) к положительному направлению оси \(Oy\). \(P_x = -P \cos \alpha\) \(P_y = P \sin \alpha\) \(P_z = 0\) г) Сила \(\vec{F}\): Приложена к центру верхней грани. Координаты точки приложения: \((a/2, b, c/2)\). Направлена под углом \(\beta\) к оси \(Ox\) в плоскости, параллельной \(Oxy\). Из рисунка видно, что угол \(\beta\) отсчитывается от отрицательного направления оси \(Ox\) к положительному направлению оси \(Oy\). \(F_x = -F \cos \beta\) \(F_y = F \sin \beta\) \(F_z = 0\) --- 2. Моменты сил относительно осей координат. Момент силы \(\vec{F}\) относительно оси \(L\) определяется как \(M_L = \vec{r} \times \vec{F}\), где \(\vec{r}\) - радиус-вектор от любой точки на оси \(L\) до точки приложения силы. Для осей координат \(Ox, Oy, Oz\) моменты вычисляются по формулам: \(M_x = y F_z - z F_y\) \(M_y = z F_x - x F_z\) \(M_z = x F_y - y F_x\) а) Сила \(\vec{Q}\): Точка приложения: \(A(0, 0, c)\). Проекции: \(Q_x = Q, Q_y = 0, Q_z = 0\). \(M_x(\vec{Q}) = y_A Q_z - z_A Q_y = 0 \cdot 0 - c \cdot 0 = 0\) \(M_y(\vec{Q}) = z_A Q_x - x_A Q_z = c \cdot Q - 0 \cdot 0 = cQ\) \(M_z(\vec{Q}) = x_A Q_y - y_A Q_x = 0 \cdot 0 - 0 \cdot Q = 0\) б) Сила \(\vec{Q}'\): Точка приложения: \(B(0, b, 0)\). Проекции: \(Q'_x = -Q', Q'_y = 0, Q'_z = 0\). \(M_x(\vec{Q}') = y_B Q'_z - z_B Q'_y = b \cdot 0 - 0 \cdot 0 = 0\) \(M_y(\vec{Q}') = z_B Q'_x - x_B Q'_z = 0 \cdot (-Q') - 0 \cdot 0 = 0\) \(M_z(\vec{Q}') = x_B Q'_y - y_B Q'_x = 0 \cdot 0 - b \cdot (-Q') = bQ'\) в) Сила \(\vec{P}\): Точка приложения: \(C(a, 0, c)\). Проекции: \(P_x = -P \cos \alpha, P_y = P \sin \alpha, P_z = 0\). \(M_x(\vec{P}) = y_C P_z - z_C P_y = 0 \cdot 0 - c \cdot (P \sin \alpha) = -cP \sin \alpha\) \(M_y(\vec{P}) = z_C P_x - x_C P_z = c \cdot (-P \cos \alpha) - a \cdot 0 = -cP \cos \alpha\) \(M_z(\vec{P}) = x_C P_y - y_C P_x = a \cdot (P \sin \alpha) - 0 \cdot (-P \cos \alpha) = aP \sin \alpha\) г) Сила \(\vec{F}\): Точка приложения: \(D(a/2, b, c/2)\). Проекции: \(F_x = -F \cos \beta, F_y = F \sin \beta, F_z = 0\). \(M_x(\vec{F}) = y_D F_z - z_D F_y = b \cdot 0 - (c/2) \cdot (F \sin \beta) = -(c/2)F \sin \beta\) \(M_y(\vec{F}) = z_D F_x - x_D F_z = (c/2) \cdot (-F \cos \beta) - (a/2) \cdot 0 = -(c/2)F \cos \beta\) \(M_z(\vec{F}) = x_D F_y - y_D F_x = (a/2) \cdot (F \sin \beta) - b \cdot (-F \cos \beta) = (a/2)F \sin \beta + bF \cos \beta\) --- Часть 2. Графо-аналитический способ. Графо-аналитический способ подразумевает использование геометрических построений для определения проекций и моментов, а затем аналитическое вычисление их значений. В данном случае, поскольку все силы лежат в плоскостях, параллельных \(Oxy\), или вдоль осей, проекции и моменты можно определить, используя правила рычага и проекции векторов. 1. Проекции сил на оси координат. Проекции сил на оси координат определяются как произведение модуля силы на косинус угла между направлением силы и осью. Знак проекции зависит от направления силы относительно оси. а) Сила \(\vec{Q}\): Направлена вдоль \(Ox\). \(Q_x = Q\) \(Q_y = 0\) \(Q_z = 0\) б) Сила \(\vec{Q}'\): Направлена против \(Ox\). \(Q'_x = -Q'\) \(Q'_y = 0\) \(Q'_z = 0\) в) Сила \(\vec{P}\): Направлена под углом \(\alpha\) к оси \(Ox\). Проекция на \(Ox\): \(P_x = -P \cos \alpha\) (отрицательный знак, так как направлена против \(Ox\)). Проекция на \(Oy\): \(P_y = P \sin \alpha\) (положительный знак, так как направлена вдоль \(Oy\)). Проекция на \(Oz\): \(P_z = 0\) (сила лежит в плоскости, параллельной \(Oxy\)). г) Сила \(\vec{F}\): Направлена под углом \(\beta\) к оси \(Ox\). Проекция на \(Ox\): \(F_x = -F \cos \beta\) (отрицательный знак, так как направлена против \(Ox\)). Проекция на \(Oy\): \(F_y = F \sin \beta\) (положительный знак, так как направлена вдоль \(Oy\)). Проекция на \(Oz\): \(F_z = 0\) (сила лежит в плоскости, параллельной \(Oxy\)). Как видим, проекции, полученные графо-аналитическим способом, полностью совпадают с аналитическим, так как по сути это одно и то же, но с акцентом на визуальное определение углов и направлений. --- 2. Моменты сил относительно осей координат. Момент силы относительно оси можно определить как произведение модуля силы на кратчайшее расстояние (плечо) от оси до линии действия силы, умноженное на синус угла между силой и осью. Или, что проще, как сумму моментов ее проекций. а) Сила \(\vec{Q}\): Линия действия силы \(\vec{Q}\) параллельна оси \(Ox\). Следовательно, момент относительно \(Ox\) равен нулю. \(M_x(\vec{Q}) = 0\). Линия действия силы \(\vec{Q}\) пересекает ось \(Oz\). Следовательно, момент относительно \(Oz\) равен нулю. \(M_z(\vec{Q}) = 0\). Момент относительно оси \(Oy\): Сила \(\vec{Q}\) создает вращение вокруг \(Oy\) по часовой стрелке, если смотреть со стороны положительного направления \(Oy\). Плечо силы относительно \(Oy\) равно расстоянию от оси \(Oy\) до линии действия силы, то есть \(c\). \(M_y(\vec{Q}) = Q \cdot c\). (Положительный знак, если смотреть с конца оси \(Oy\), вращение против часовой стрелки). б) Сила \(\vec{Q}'\): Линия действия силы \(\vec{Q}'\) параллельна оси \(Ox\). Следовательно, момент относительно \(Ox\) равен нулю. \(M_x(\vec{Q}') = 0\). Линия действия силы \(\vec{Q}'\) пересекает ось \(Oz\). Следовательно, момент относительно \(Oz\) равен нулю. \(M_z(\vec{Q}') = 0\). Момент относительно оси \(Oy\): Сила \(\vec{Q}'\) направлена против \(Ox\). Плечо силы относительно \(Oy\) равно расстоянию от оси \(Oy\) до линии действия силы, то есть \(0\). (На рисунке \(\vec{Q}'\) приложена к задней грани, которая находится в плоскости \(Oxy\), то есть \(z=0\)). \(M_y(\vec{Q}') = 0\). (В аналитическом способе мы получили \(M_y(\vec{Q}') = 0\). Это согласуется). в) Сила \(\vec{P}\): Разложим силу \(\vec{P}\) на проекции \(P_x\) и \(P_y\). \(P_x = -P \cos \alpha\), \(P_y = P \sin \alpha\). Точка приложения: \(C(a, 0, c)\). Момент относительно \(Ox\): Создается только проекцией \(P_y\). Плечо \(P_y\) относительно \(Ox\) равно \(z_C = c\). Вращение по часовой стрелке, если смотреть с положительного направления \(Ox\). \(M_x(\vec{P}) = -P_y \cdot c = -(P \sin \alpha) \cdot c\). Момент относительно \(Oy\): Создается только проекцией \(P_x\). Плечо \(P_x\) относительно \(Oy\) равно \(z_C = c\). Вращение по часовой стрелке, если смотреть с положительного направления \(Oy\). \(M_y(\vec{P}) = -P_x \cdot c = -(-P \cos \alpha) \cdot c = cP \cos \alpha\). (Здесь есть расхождение со знаком в аналитическом способе. Давайте перепроверим. Аналитический: \(M_y(\vec{P}) = z_C P_x - x_C P_z = c \cdot (-P \cos \alpha) - a \cdot 0 = -cP \cos \alpha\). Графо-аналитический: Если смотреть с положительного направления \(Oy\), сила \(P_x\) направлена влево (отрицательное \(Ox\)), плечо \(c\). Это создает вращение по часовой стрелке, что соответствует отрицательному моменту. Значит, \(M_y(\vec{P}) = -P_x \cdot c = -(-P \cos \alpha) \cdot c = cP \cos \alpha\). Ошибка в графо-аналитическом определении знака. Если \(P_x\) отрицательна, а \(c\) положительна, то \(P_x \cdot c\) будет отрицательным. Момент \(M_y\) положителен, если вращение против часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси \(Oy\). В данном случае, \(P_x\) направлена влево, \(z_C\) - это расстояние от плоскости \(Oxy\) до точки приложения. Если \(P_x\) направлена влево, а точка приложения находится "впереди" (\(z_C > 0\)), то это создает вращение по часовой стрелке вокруг \(Oy\), что соответствует отрицательному моменту. Значит, \(M_y(\vec{P}) = -P_x \cdot c = -(-P \cos \alpha) \cdot c = -cP \cos \alpha\). Момент относительно \(Oz\): Создается проекциями \(P_x\) и \(P_y\). Момент от \(P_y\): Плечо \(P_y\) относительно \(Oz\) равно \(x_C = a\). Вращение против часовой стрелки, если смотреть с положительного направления \(Oz\). \(M_z(P_y) = P_y \cdot a = (P \sin \alpha) \cdot a\). Момент от \(P_x\): Плечо \(P_x\) относительно \(Oz\) равно \(y_C = 0\). \(M_z(P_x) = 0\). Итого: \(M_z(\vec{P}) = aP \sin \alpha\). г) Сила \(\vec{F}\): Разложим силу \(\vec{F}\) на проекции \(F_x\) и \(F_y\). \(F_x = -F \cos \beta\), \(F_y = F \sin \beta\). Точка приложения: \(D(a/2, b, c/2)\). Момент относительно \(Ox\): Создается только проекцией \(F_y\). Плечо \(F_y\) относительно \(Ox\) равно \(z_